Voltar    
  FORMA E CONTEÚDO NA LINGUAGEM MATEMÁTICA – UM OLHAR SOBRE A FRAÇÃO

Érica Maria Toledo Catalani (ericacatalani@hotmail.com) – FE-UNICAMP/SP

Anna Regina Lanner de Moura (arlanner@unicamp.br) – FE-UNICAMP/SP

A abordagem do ensino de fração passa principalmente pelo modo como entendemos a linguagem matemática. Em nossa visão a fração não é apenas um símbolo que a humanidade criou para expressar os segmentos menores que a unidade estabelecida. A fração é o resultado de um longo movimento de pensamento que foi ganhando expressão e significado coletivamente, a partir de ações de medir. Este movimento do pensamento constituiu uma linguagem expressa atualmente por símbolos abstratos que são tratados e ensinados nas escolas.

Esse artigo pretende trazer contribuições sobre a aprendizagem do conceito de fração, a partir da discussão da linguagem na perspectiva da lógica dialética. Isto significa a busca do pensar que não limita ao estabelecimento de relações centradas nos aspectos estruturais lógicos e discursivos do pensamento, observados nas pesquisas de enfoque construtivista. Deseja-se analisar filosoficamente os diferentes enfoques da linguagem com o propósito de refletir sobre o ensino de fração na perspectiva da inter-relação da forma e conteúdo desse conceito.

O problema da abordagem estreita da linguagem

No estudo de conceitos é muito comum focalizarmos a linguagem e isto nos leva, conforme aponta Kopnin (1978), ao problema do modo como se aborda a linguagem enquanto meio de representação da realidade.

Este autor aponta a existência de diferentes modos de abordar a linguagem na representação da realidade. Se abordarmos a linguagem estreitamente, tomando apenas os símbolos e outros meios que servem de sinal, então não se pode afirmar que ela reflete o objeto/fenômeno. Entretanto, tomado em conjunto, o significado dos sinais e suas relações, daí a linguagem constitui indubitavelmente um meio de representação da realidade (KOPNIN, 1978, p.306).

Desta maneira, reconhecendo que a realidade tem seu reflexo no conhecimento e na linguagem que o expressa, o estudo da linguagem deve levar em conta todo o processo de movimento no conhecimento e na linguagem. Isto significa valorizar toda a complexidade da linguagem enquanto forma de existência do conhecimento e de síntese de seu conteúdo. Para o conceito científico, os aspectos forma e conteúdo da linguagem permitem mostrar as peculiaridades do conceito como formas de atividade dos homens na sociedade. O estudo desses aspectos esclarece o lugar da síntese do conceito no desenvolvimento do conhecimento e também o modo de sintetizar, no conceito, o conhecimento enquanto forma de movimento do pensamento – o movimento forma e conteúdo.

A linguagem vista pela dupla dimensão: forma e conteúdo, ganha em profundidade sócio-cultural e multilateralidade operacional.

Consideramos estas idéias também para a linguagem matemática e, consequentemente, para o conceito de fração. Aprender o conceito de fração apenas por este seu aspecto operacional consiste em se apropriar exclusivamente de sua dimensão tecnológica, tendo com ele a mesma relação de funcionalidade que se tem ao apertar um botão. Deste modo, a distância do conceito ao sujeito é comparável a que existe entre disparar um controle remoto de uma arma e as conseqüências extremas do alvo atingido. Consideramos esta distância própria da interpretação lógico-formal do conhecimento.

A crítica de Kopnin (1978) indica que a lógica formal criou dispositivos/métodos para interpretar as regras específicas de emprego de certos termos da linguagem – interpretação lógico-formal. Esses dispositivos de interpretação sintático, semântico, empírico e pragmático da linguagem da ciência embora contribuam para novos resultados, são avaliados como limitados. Por exemplo, a interpretação semântica resolve o problema da localização dos objetos, fatos e processos, que existem por trás de certos símbolos. Porém, não se pode interpretar todos os termos, pois tanto a interpretação sintática como a semântica se referem ao esclarecimento apenas do momento formal no conhecimento (KOPNIN, 1978, p.307).

Sobre as interpretações empírica e pragmática o autor indica que também não são suficientes. Pode-se encontrar os efeitos observáveis correspondentes das expressões lingüísticas da teoria e interpretá-los pela via empírica. No entanto, nas palavras do autor

a interpretação empírica da linguagem da teoria é limitada. Ela será sempre incompleta, parcial; os mesmos termos podem ser interpretados em diversos objetos acessíveis à observação, e o que é mais importante, muitos sistemas teóricos permanecem fora dos limites dessa interpretação (KOPNIN, 1978, p.307, grifo nosso).

Kopnin continua sua crítica e assinala que se a análise lógica do conhecimento se prender apenas aos meios proporcionados pelo método da lógica formal e o próprio conhecimento for abordado como simples operação com sinais segundo regras rigorosamente fixadas, então, se justificam também as concepções intuitivistas. Assim, não se caracteriza um simples acaso o fato de pesquisadores darem grande atenção à chamada interpretação pragmática. Procura-se com ela um enfoque mais amplo do conhecimento como forma de atividade do homem, todavia, ela também é considerada limitada uma vez que se restringe a atitude do sujeito em face aos sinais da linguagem, suas reações diante destes (KOPNIN, 1978, p.308).

Ao tomarmos, para o ensino de fração o que apresenta Kopnin (1978) à ciência, podemos afirmar que a ênfase no formalismo lógico, tradicional, oculta os movimentos constitutivos do pensamento do conceito, reduzindo-o à mecanização do pensamento matemático por parte do aluno.

Entretanto, quando consideramos para o conceito de fração o que Fischer (1959) coloca para o desenvolvimento em geral, temos que, em sua forma desenvolvida e complexa, o conceito encerra um duplo movimento. Um com tendência conservadora de síntese e sistematização – a forma e, outro com tendência de manifestação e superação das dificuldades, portanto, revolucionário – o conteúdo.

Do mesmo modo, podemos considerar que o ensino do conceito que fragmenta esse duplo movimento e dá à forma maior importância reduz o pensamento ao aspecto mecânico, segundo Kopnin (1978) e contribui para a alienação do ser humano da totalidade do processo de produção de conhecimento, segundo Fischer (1959) e Lima (1998). O sujeito que aprende sem a possibilidade de formar os nexos do conceito se aliena, de um lado dos processos de constituição do conhecimento e da dimensão ocultada pela forma atual do conceito e, de outro dos movimentos de identificação e superação de dificuldades, próprios do desenvolvimento criativo do conhecimento – sua dimensão criativa.

Correlacionando as idéias de Kopnin (1978) sobre a interpretação da linguagem científica, analisamos a interpretação da linguagem matemática em propostas sobre o ensino de fração. Um exemplo de interpretação empírica do desenvolvimento do conceito de fração é identificado nas sugestões de atividade que indicam, para a aprendizagem das expressões lingüísticas ¾ e 3/5, relacioná-las aos efeitos observáveis nas barras de chocolate, pizzas e frutas divididas em partes. O ensino de fração centrado nesta forma empírica de interpretação da linguagem limita a qualidade do pensamento numérico ao nexo lógico sintático/semântico – de 4 partes iguais assinalo 3 – ficando excluído de sua formação o nexo da continuidade, da grandeza, da unidade, da racionalidade e da ampliação do número natural. Isto proporciona o distanciamento do sujeito da elaboração de juízos sobre o conceito de fração, podendo usar nesta elaboração a linguagem natural que lhe dá a possibilidade de entender-se, também, no movimento do conceito, enquanto os elabora.

Outra forma de ensino, aquela que entende a aprendizagem de fração pela intuição de seus nexos conceituais mediante as inúmeras formas de representar a fração, sugerindo que o aluno aprende ao ter a possibilidade de trabalhar com vários registros de representações, sugere um exemplo de interpretação intuitivista ou pragmática. Esta interpretação é detalhadamente analisada nos trabalhos de Davýdov (1982). Com ela se pretende figurar a “imagem-representação” e o “conceito” enquanto elementos de uma unidade mental que reflete o nexo do geral ao singular, avaliado por este autor como característico de uma interpretação empírico-sensualista tradicional da ciência (DAVÝDOV, 1982, p.240).

De fato, a aprendizagem do conceito de fração, na perspectiva da lógica dialética, busca relevar a peculiaridade do pensamento teórico ao resgatar não só as formas racionais empíricas do pensamento humano, mas, e, principalmente, o pensar teórico próprio do nosso tempo. Pensar que não se trata somente do estabelecimento de aspectos estruturais (operações) e discursivos do pensamento, observados nas pesquisas de enfoque construtivista. Para estas pesquisas o desenvolvimento do pensamento é o próprio desenvolvimento das estruturas de operação. Não é o conhecimento dos objetos que leva ao desenvolvimento da lógica, ao contrário, é o desenvolvimento da lógica que leva ao desenvolvimento do conhecimento das coisas.

Há ainda outro exemplo que decorre da forma limitada de interpretação formal da linguagem da fração. Na visão de alguns educadores ensinar números decimais é muito mais importante que ensinar fração, em conseqüência das vantagens trazidas pelas máquinas de calcular e pela fácil manipulação desses números na vida diária. Um exemplo do que apresentamos é encontrado em uma investigação sobre os usos das frações por parte de diferentes atividades profissionais, na qual se sugere que seu ensino seja reduzido, enormemente, considerando o aspecto do seu uso social . Sob este ponto de vista, do mesmo modo que a sociedade atual prescinde do ábaco e de outros instrumentos rústicos usados para o cálculo, pois conta com instrumentos avançados como calculadoras e computadores, ela também poderia dispensar o ensino da fração, já que esse instrumento estaria relegado ao passado.

Essas argumentações sobre o ensino do conceito de fração tomam por base unicamente seu uso social, característico da visão pragmática de ensino, que se baseia no seu aspecto de técnica operatória na formação dos alunos e, sob esta ótica, consideram razoável a substituição das frações pelo ensino de decimais, alegando, principalmente, o fato de ser mais coerente ao largo uso das calculadoras ou das novas tecnologias. Concordamos com a crítica de Lima & Moisés (1998) de que tal argumentação se torna verdadeira unicamente diante da visão técnica e mecânica do ensino deste conceito.

No entanto, por trás da ênfase do ensino de fração no seu aspecto técnico e formal o que restringe sua compreensão ao entendimento da organização dessa linguagem apenas enquanto sua gramática, segundo Lima & Moisés (1998), encontramos a fração como a primeira conexão bem sucedida, realizada pela humanidade, entre dois movimentos quantitativos regulares. E isto representa, como já dissemos anteriormente, a primeira tentativa de registrar os movimentos quantitativos dos aspectos contínuos das grandezas na forma de relações entre quantidades. Este movimento, indiscutivelmente, constitui base para o conceito de número racional.

Neste artigo, destacamos o conceito de fração do movimento mais amplo representado pelo conceito de racionalidade e buscamos, na história, os movimentos de transição dos planos de ação da humanidade envolvidos na constituição dos seus nexos fundamentais – seu conteúdo. Consideramos o conceito de fração como parte da construção do conceito de número racional. Entendemos que a recuperação dessa primeira tentativa de registrar os movimentos quantitativos de aspectos contínuos de grandezas na forma de relações entre quantidades – a fração, em situações de aprendizagem orientadas pela lógica dialética do desenvolvimento conceitual, constitui vínculo essencial para a elaboração do conceito teórico de racionalidade, mais abrangente ainda.

Diante da crítica apresentada queremos observar que não eliminamos a importância da interpretação lógico-formal da linguagem. Queremos ampliar a interpretação lógico-formal ao concordar com Kopnin (1978) que o caminho da lógica dialética constitui ampliação desta. É fundamental para o processo de orientação do sujeito que aprende a contribuição da lógica dialética e, portanto, não pode ser ignorada quando pensamos no processo de ensino e aprendizagem de um conceito.

Interpretamos o desenvolvimento do conceito de fração como movimento dinâmico de sua forma e conteúdo no sentido de incremento do conhecimento e o consideramos como elemento essencial na orientação das atividades de ensino .

A dinâmica criativa na aprendizagem do conceito – a unidade forma e conteúdo

Ensinar um conceito a partir de sua forma atual, representada em linguagem formalizada constituída de símbolos organizados segundo regras específicas, dificilmente daria oportunidade ao aluno de refletir sobre este conceito, criando formas de pensamento que não são as do sistema formalizado. Talvez por este motivo Fischer (1959) nos indica que a idéia de tratar a forma como primária e o conteúdo como secundário reflete uma reação típica de caráter ideológico e controlador; característica do movimento da ciência em sua tendência em adquirir um caráter neutro, racional e extremamente lógico, distanciado de toda a historicidade do conhecimento.

O processo que trata a forma destacada do conteúdo centra-se na apreensão da forma vazia de sentido e significado, determinada apenas pelo puro pensamento de regras e do seu correto emprego.

Interpretamos que a influência desse movimento positivista da ciência no ensino tornou-o fragmentado e centrado na repetição e na forma simbólica. No caso do ensino da fração, não foi diferente, essa perspectiva tolheu do aluno a possibilidade de construir uma nova leitura da realidade e de recriar o movimento crítico e revolucionário do conteúdo desse conceito.

Recuperar a inter-relação entre forma e conteúdo, um que vela e o outro que revela, é inspiradora de um ensino que permite ao aluno uma elaboração do conceito de maneira a participar dos movimentos humanos que o constituíram e também permite o enfoque da lógica dialética das formas de pensamento.

Isto porque, segundo Kopnin (1978), enquanto a lógica formal se interessa pela própria forma lingüística de expressão de uma idéia a lógica dialética estuda, sobretudo, o conteúdo mental – do pensamento – expresso na forma lingüística, dando atenção especial à relação desse conteúdo mental com a realidade objetiva. A lógica dialética, diferente da lógica formal, “procura penetrar no próprio processo de aquisição do conhecimento, no próprio processo de pensamento, no modo em que nele se reflete a realidade objetiva” (KOPNIN, 1978, p.85).

Em relação ao ensino de fração, a “forma” se apresenta como sínteses registradas sob a linguagem numérica fracionária definida por um conjunto de relações lógicas. Esta forma fracionária se diferencia do número natural/inteiro e, ao ampliar alguns de seus aspectos, contribui para a constituição de um novo conjunto numérico. O “conteúdo”, velado por esta forma numérica, retrata a dinâmica das relações e contextos que geraram o conceito, isto é, seu movimento de produção, frente às necessidades de quantificação de aspectos contínuos das grandezas.

Como é sabido o conceito de fração hoje se apresenta sob a forma simbólica a/b cuja condição que determina a existência desse número exige que a, chamado de numerador, e b, chamado denominador, sejam números inteiros e ainda b tem que ser diferente de zero. O significado relacionado a esta forma numérica compreende em primeiro lugar, o de número inteiro se a for múltiplo de b com a divisão de a por b e, em segundo lugar, se não for satisfeita a condição de a ser múltiplo de b, a de fração. Aí o significado fica depositado na idéia de “algo dividido em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Ex.: Angenor comeu ¾ de um chocolate. Isto significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Angenor teria comido 3 dessas partes (...)” . Justamente por esse seu alto grau de generalização, hoje, este conceito se ampliou para o conceito de racionalidade e adquiriu alto poder de aplicabilidade tecnológica.

Este conceito, diferente daquele que tinham os egípcios em torno de quatro mil anos a.C., só atualmente é considerado uma tecnologia que se diferencia por sua universalidade de aplicabilidade. Considerando que cada civilização elabora a universalidade tecnológica que lhe convém e lhe é possível pelas condições de conhecimento objetivo da sua época, o que vemos hoje na fração egípcia, e que caracterizamos como rudimento e ferramenta, para eles era a perfeição tecnológica na mesma medida que a nossa forma fracionária atual.

É neste sentido que se justifica nossa opção por um enfoque de ensino que não prioriza a linguagem simbólica atual e, ao contrário, optamos por estudar o conceito de fração, na perspectiva da recriação de seu conteúdo em caráter dialético com sua forma. Organizar as atividades frente a esta perspectiva criativa do conceito de fração envolve refletir sobre o desenvolvimento desse conceito na perspectiva identificada em Kopnin (1978) por perspectiva lógico-histórica.

Sob esta perspectiva, a história não se reduz aos fatos, não é ilustrativa e cronológica. Nossos argumentos evidenciam que o conhecimento da história do conceito torna-se fundamental para identificar as conexões importantes do conceito de fração. Torna-se necessário esclarecer ainda que não estamos entendendo a história como uma sucessão linear em direção à forma mais verdadeira do conceito e não se deseja definir leis que pré-determinam a evolução do conceito. É o lógico da história do conceito que chamamos de dinâmica histórica. Essa dinâmica histórica aproxima-se do que Prado (2000) denomina como lógica conceitual.

Apoiados no artigo de Antonio Miguel (1997) identificamos que a perspectiva lógico-histórica assume duas funções: uma para o professor e outra para o aluno. Para o professor, a de investigação sobre a criação, evolução e compreensão dos conceitos para constituir a problematização na atividade pedagógica. Para o aluno, a de promoção do pensamento crítico, de conscientização epistemológica e de reconstrução da identidade histórico-cultural, onde este percebe as transições e contradições inerentes à inter-relação sujeito-objeto sem a “inculcação dos padrões atuais de rigor”.

Sabemos que é perscrutando a história do conceito de fração e extraindo dela as principais transições conceituais, que teremos acesso aos avanços e rupturas que foram relevantes para o estabelecimento do conhecimento de fração que temos atualmente. Nesse processo de estudo da história, destacamos a importância de se penetrar profundamente na riqueza do conteúdo do conceito estudado para se apreender as conexões de grau cada vez maior, observando as fases em que o pensamento foi se transformando e se superando. Sendo assim, a reconstrução da dinâmica do conceito de fração está fundamentada em estudiosos que direta ou indiretamente trazem contribuições para identificarmos as principais conexões que compõem o conceito de fração. Entre eles, Childe (1966), Boyer (1974), Aleksandrov, Kolmogorov & Laurentiev, (1988), Hogben (1970) e Caraça (1998).

Para todos eles o conhecimento surgiu como parte da vida cotidiana de homens e mulheres e desta forma, as origens primitivas da matemática, relacionadas com os conceitos de número, grandeza e medida, podem ser encontradas nos primórdios da raça humana.

Para uma compreensão mais profunda do conteúdo do conceito de fração, os estudiosos acima citados indicam o pensamento envolvido na medição de aspectos contínuos das grandezas. Destacam eles que este conceito surge dos significados das ações práticas de medir de diferentes sociedades diante de suas necessidades diversas. Povos antigos, diante de suas necessidades sociais passaram a utilizar o número natural de modo diferente quando precisaram quantificar mais rigorosamente elementos da natureza que não identificavam como organizados naturalmente separados.

Hogben (1970) marca que essa diferença do uso do número natural na divisão do dia em horas e das horas em segundos compreendia grande avanço nos processos de medir desses povos, visto que “uma hora não é separada de outra por nenhum acontecimento natural” diferente de uma ovelha que é separada de outra por uma camada variável de atmosfera. Horas, minutos, metros e centímetros, entre outras grandezas, correspondem a medições que podemos fazer com maior ou menor precisão.

Ao explorarmos o desenvolvimento do conceito de fração, com base na perspectiva da lógica dialética, selecionamos atividades que possibilitassem reflexão sobre os diferentes modos de uso do número natural, ou seja, que permitissem aos alunos e alunas pensar sobre os aspectos discretos e contínuos dos objetos e fenômenos, envolvidos na quantificação.

Em uma reflexão sobre as mudanças ocorridas em dois conjuntos, apresentados nas figuras 1 e 2, os alunos refletiram sobre a forma numérica, modificada diante do processo de desenvolvimento tecnológico e sobre o conteúdo envolvido na contagem, aspectos dos objetos – discretos/contínuos – vinculados à correspondência biunívoca. A reflexão sobre as mudanças que podem ocorrer em cada um deles permite observar as impossibilidades oferecidas pela forma numérica que representa quantidades que não estão organizadas em unidades discretas, ou seja, de vizinhanças definidas.Vejamos como estes meninos e meninas debatem e manifestam a inter-relação da forma e conteúdo do conceito.

 

FIG. 1 – Objetos contados

FIG. 2 – Objetos usados para contar

Observavam as figuras e debatiam a questão: onde ocorreram mudanças?

Dama: No conjunto que conta, foi a mudança, porque eles contavam com pedras e foi mudando e foi é... surgindo o número romano e aí, depois, surgindo o número natural.

Tali: Antigamente era muito difícil, assim, pra contar, mas agora está mais fácil. Pegar pedrinha por pedrinha, tinta por tinta,...

Prof: E se fosse o quê?

Lean: E se fossem cem ovelhas... [faz gestos com a mão na carteira, mostrando a relação uma pedra para cada ovelha]

Dama: Pra contar a água, não dá não... só se for as gotinhas. Aluna: Nem areia.

Tali: O quê que pode contar e o que não pode [com pedras]?.

Damas: Areia não pode,...poder pode, mas só que vai demorar um ano.

Iv: Contar alguma coisa com pedrinha.

Bru: Dona Érica, dá pra contar sim, é só peneirar e o que sobrar... Prof: Conta só o que sobrar?

Dama: Contar até que dá para contar, mas não vai contar a areia. Cimento também não dá pra contar, é pó.

Lean, parece explicar que a dificuldade, enunciada anteriormente por Tali, de que era mais difícil contar grandes quantidades com pedra, se caracteriza pela operacionalidade da contagem e assim pode-se perceber que a mudança é atribuída à forma do numeral, significando que o numeral pedra é operacionalmente limitado na contagem de grandes quantidades, não se questiona a característica discreta do conjunto contado, conteúdo fundamental da contagem com este numeral. Quando a aluna Tali, se faz uma outra pergunta “o que pode contar e o que não pode contar [com as pedras]?”, ocorre outra elaboração que se traduz na reflexão sobre a mudança do conteúdo envolvido na contagem e percebe-se a diferença na qualidade do aspecto contado. A elaboração de Dama denota que há na natureza objetos cujos aspectos oferecem fator limitante para o estabelecimento da correspondência biunívoca – água, areia, cimento – e por isso não podem ser contados com pedras. Para solucionar este problema a aluna mostra uma tendência em modificar o aspecto contínuo desses objetos, adaptando suas características a fim de permitir a contagem com pedras. Na verdade este é o movimento numérico feito ao longo da história, procura-se tornar discreto o aspecto contínuo dos objetos permitindo quantificá-los, criam-se unidades artificiais que precisam ser da mesma espécie do objeto a ser contado. Isto pode ser confirmado por sua tentativa de imprimir um conteúdo discreto ao aspecto contínuo da água, “a forma de gotinhas”, para poder quantificá-la com o uso da forma numérica - pedras. Esta tentativa parece ser possível porque não muda a natureza do objeto a ser contado: gota d’água é sempre água. O que não vai acontecer quando se peneira a areia, sugestão dada por Bru para poder quantificá-la e questionada por Dama, porque parece apontar como resposta a mudança da natureza da areia que deixa de ser pó como o cimento é pó. Dama imprime uma forma discreta ao conteúdo contínuo da água, indicando que é possível intervir no conteúdo – aspecto contínuo – para atender aos limites da forma numérica que enumera aspectos discretos, o número natural.

Grandezas

Aleksandrov, Kolmogorov & Laurentiev (1988) vão apontar outra compreensão importante do conteúdo do conceito de fração. Justificando a necessidade de medir na impossibilidade sensorial de identificar grandezas. Estes autores reconhecem que o processo de medição tem origem na inter-relação entre a geometria e a aritmética. De fato, para medir uma grandeza, seja ela uni, bi ou tridimensional, precisamos aplicar-lhe uma certa unidade de medida, calculando quantas vezes é possível repetir a operação de sobrepor a unidade de medida à grandeza. Refere-se à aritmética, o cálculo da quantidade de vezes que se aplica a unidade de medida à grandeza. Já a escolha/identificação da unidade de medida de mesma espécie da grandeza, envolve conhecimento da geometria.

Apóia-se na compreensão desta inter-relação a necessidade de também possibilitar ao aprendiz da fração o desenvolvimento do conceito de grandeza. Ao refletir sobre situações práticas, queremos que identifiquem qualidades comuns aos objetos tais como: peso, altura, velocidade entre outras e pensem sobre sua quantificação. Tal identificação não é tarefa tão simples como ressalta Lanner de Moura (1995) em seu estudo. A noção de comprimento só é possível a partir de um conjunto de objetos, mas descobrir esta qualidade comum aos objetos, que não é a cor, forma ou material, constitui tarefa difícil. Nessas atividades, conhecimentos de geometria e aritmética se unificam para pensar/conhecer grandezas.

O desenvolvimento da linguagem das grandezas, destacado igualmente por Hogben (1970), constitui para nós elemento importante na elaboração do conceito de fração, pois permite pensar sobre a capacidade de perceber diferentes dimensões. Tal desenvolvimento envolve avaliar situações em que os olhos não são suficientes para tal tarefa, colocando-se o problema da necessidade de criação de uma unidade de medida que futuramente se tornaria instrumento de medição. A expressão do resultado da comparação da unidade de medida no processo de medição permitiu que se redimensionasse o contexto de utilização dos números naturais.

Agora, a medição de determinada qualidade se estabelece no momento em que se quer conhecer o tamanho, isto é, diferenciá-la de outra quanto a diferentes graus de intensidade. Neste sentido, o termo quantidade é empregado para representar a medida daquilo que queremos conhecer no tamanho ou dimensão.

A seguir o grupo formado pelos alunos Herb/Die/Eds/Argi comparam recipientes de tamanhos diferentes com o propósito de organizarem do maior para o menor. O grupo organizava os recipientes e a professora perguntou qual recipiente é o maior.

Herb: Esse é o primeiro [mostra o recipiente mais alto] e esse é o segundo maior que o primeiro.


Prof: É o maior porque cabe mais?

Herb: Ah! Então é esse. [aponta para o recipiente 5, na fig.3]

Die e Eds: É esse. [mostram o recipiente 1, na fig.3]

Herb: É esse. [volta a mostrar o recipiente 1, mas demonstra dúvida ainda, olha para o recipiente 5, ambos na fig.3]

Herb fala para Die: Só que esse também cabe alguma coisa [mostra um recipiente 4, na fig.3]

Eds: É esse daqui ó, é a margarina que é maior. [mostra também o recipiente 5, na fig.3]

Die: [Incompreensível] [enquanto fala com Herb, coloca em comparação as alturas do quarto e do primeiro recipiente]

Herb muda de idéia: Esse é o maior [mostra o 1, na fig.3]. Dona Érica esse daqui é o maior, esse aqui é o segundo. [volta-se para o Die e pergunta:] ou é esse? [mostra o recipiente que está em terceiro lugar]

Die: É esse [mostra o segundo recipiente].

Herb continua: terceiro, quarto, quinto, (incompreensível). Esse aqui é maior [volta a mostrar o recipiente 5, na fig.3].

Die: Não é, ó. [muda a posição do recipiente de margarina – conforme Fig.4 – para poder compará-lo com o recipiente que está em quarto lugar, em seguida, concorda com Herb e troca os recipientes de lugar

 

Herb mostra a seqüência finalmente organizada.

Die volta a comparar novamente os dois últimos recipientes.

 

 

Em função da insuficiência do senso de grandeza na determinação de graus de intensidade muito próximos, os alunos enfrentam a difícil tarefa de abarcar a totalidade de dimensões envolvidas na comparação do grau de intensidade do volume dos recipientes e, assim, isolam a altura. Nesta elaboração a qualidade altura, primeiramente, permite a comparação dos recipientes. Os alunos a utilizam na comparação direta entre os recipientes, colocando-os lado a lado; porém, quando tomam somente a altura como isolado para o estudo do tamanho dos recipientes, estes alunos não compreendem, neste recorte, todos os fatores que influenciam no fenômeno: medida tridimensional.

No caso do estudo da fração, o isolado de uma qualidade comum, representará futuramente a escolha da unidade de medida. Assim, isolando apenas a altura, recortada arbitrariamente do conjunto de outras relações essenciais à comparação de volumes, neste caso: largura e comprimento, percebem o surgimento de um fator relevante, anteriormente ignorado: recipientes baixos parecem ser maiores, pois que são também largos e compridos. Por esta razão os alunos Herb e Die apresentam constantes dúvidas e hesitações no momento da organização dos recipientes. As situações em que ser maior em altura não significava ser o maior em volume causou confusão quanto ao estabelecimento de um juízo de ser maior na comparação.

Ao observarmos as manifestações desses alunos notamos que isolar um aspecto comum dos objetos – recipientes – constitui apreender o conteúdo contínuo que permite uma forma de quantificação – o juízo ser maior. Identificar qual isolado constituirá a unidade de medida, de maneira que atenda a atributos comuns, não é tarefa tão simples uma vez que os alunos hesitam e trocam os recipientes de lugar algumas vezes diante do encontro do inesperado nesta comparação.

A intervenção dos alunos no aspecto contínuo – volume – dos recipientes ficou prejudicada pelo destaque de um isolado inconveniente – a altura – para a determinação do maior em volume. Intuitivamente suas ações – provocar rotações no recipiente “cinco” para compará-lo com o “quatro”, ambos da Figura 4 – permitiram formas de medir esse aspecto contínuo a fim de poder estabelecer mais adequadamente um juízo de intensidade.

No debate dos grupos, outras elaborações são observadas quanto à organização dos recipientes. Um grupo destaca como justificativa a qualidade altura. Três grupos escolhem o recipiente maior pela qualidade largura. Um dos grupos fica em dúvida ao expor sua resposta e um grupo faz sua escolha apoiando-se na altura e largura dos recipientes. A seguir apresento parte deste debate.

Prof: E qual dos dois é o maior?

Cari mostra o pote de margarina e responde: Largura é esse [o de margarina] e altura é esse [recipiente de vidro].

Prof: Mas pra saber qual é o recipiente maior não dá pra uma hora eu achar que um é maior em largura e outro é maior em altura. Eu tenho que definir qual é o recipiente maior? O que faço para saber isso?

Jaque: Coloca água. Vários falam ao mesmo tempo.

Jaque: ..., nós enche esse aqui de água e coloca aqui [despeja a água do recipiente de vidro no recipiente de margarina]. Se encher tudo e cair água, esse [recipiente de vidro] é maior. A aluna sai para buscar água.

Prof: É altura que é importante para saber se o recipiente é maior? Cami faz gesto negativo com cabeça.

Cari: Não dona Érica, depende. Pode ser a altura, a largura, depende da qualidade.

Ever: O refrigerante, eles vem no vidro. A “coca-cola” vem num vidro mais alto [incompreensível]

Prof: Mais fino. Cari repete: Dona Érica, um é maior por causa da altura e outro por causa da largura, então, depende da qualidade.

(...)

Iva: Professora, sabe qual é maior, por causa que tem pote que é grande, mas é pequenininho professora. É grande, mas não é largo, porque dá pra ver que o pote de manteiga é mais grande na largura, tem pote que é grande, mas não é largo.

Ever: Essa garrafa de “coca-cola”, tem outra de “coca-cola”, a outra tem o mesmo tanto que essa, por causa que é fina, é maior, mas não é mais larga.

Prof: Então a largura pode ser um fator uma qualidade impor...

Dama imterrompe: A outra é pequenininha e tem a mesma quantidade, é o mesmo líquido.[sobre a garrafa de refrigerante]

Cari: Dona Érica, também, ó dona Érica, a Jaque ... A senhora falou, não sei se a senhora percebeu, mas ali tem duas qualidades. Dá pra perceber por causa que a senhora não escolheu qual a senhora ia determinar pra ver qual que é maior. Depende também, que nem, depende da largura e da quantidade que pode colocar dentro. Então, a senhora não determinou qual é maior. A senhora não determinou a qualidade pra gente falar.

Prof: Então, o que é mais importante pra gente provar qual é o maior?

Joy: Ver qual que serve mais coisas, que nem a água. Ver qual que serve mais? Cari: Qual que cabe mais?

Joy: É. Dama concorda com a Joy.

Primeiro Cari manifesta hesitação entre isolar a largura e altura na comparação dos recipientes e solicita à professora o estabelecimento do isolado para esta comparação. Esta hesitação mostra o embaraço enfrentado pela interdependência da largura, altura e comprimento na comparação de volumes. Diante desse embaraço a aluna, a princípio, mostra que é possível comparar os recipientes, tomando separadamente a altura e a largura. Isto a leva para uma análise equivocada uma vez que o isolado não compreendeu todos os fatores que interferem na comparação de volumes, ou seja, altura, largura e comprimento. Por fim ela ainda quer que a professora estabeleça o isolado para a comparação. Nesta elaboração, identifica-se o conteúdo contínuo do objeto em jogo na comparação ao se determinar o isolado referente ao juízo de ser maior que. No entanto, o isolado não contribuiu para que se estabelecessem vínculos entre altura e largura, correspondentes a níveis mais abrangentes de isolado, como o manifestado por Ever e Dama no terceiro tipo de elaboração.

A segunda elaboração manifesta-se por uma intervenção que possibilita a ação de medir o volume dos recipientes através da capacidade de conter líquido. Esta intervenção se apóia na tentativa de adaptar o aspecto contínuo – conteúdo – de maneira a poder estabelecer uma unidade de medida de mesma espécie da extensão a ser medida, permitindo a comparação e determinação conveniente do grau de intensidade desta extensão. Joy complementa esta elaboração não só reafirmando o papel da “água” como auxiliar na medição, como evidenciando seu papel na determinação da capacidade “qual que serve mais”, frase que foi interpretada e redimensionada por Cari como “o que cabe mais”. Também adotada por outros grupos como estratégia de comparação, ainda que de forma não operacional, a água assegura uma maneira de comparar que identifica a variação de dimensões internas dos recipientes. Interpretamos que a medição ocorre aqui de maneira rudimentar, visto que ainda não observamos nas ações dos alunos o estabelecimento de um termo único na medição, a comparação é feita invariavelmente, comparando a capacidade de conter água entre dois recipientes, garantindo a definição do maior entre eles. Podemos considerar que o movimento do pensamento desses alunos buscou organizar o aspecto contínuo do objeto, o conjunto contado, entretanto, ainda não foi possível corresponder seu conteúdo à forma numérica, números naturais, conjunto que conta.

A terceira elaboração que podemos destacar, manifestada por Ever, traz evidências da determinação da capacidade dos recipientes como elemento de variação de largura e altura de uma garrafa de refrigerante. Ele complementa Iva e expressa “Essa garrafa de ‘coca-cola’, tem outra de ‘coca-cola’, a outra tem o mesmo tanto que essa, por causa que é fina, é maior, mas não é mais larga.”. Percebemos a tentativa de expressar que altura e largura podem variar entre si sem alterar a capacidade. Dama complementa Ever, dizendo: “A outra [garrafa de refrigerante] é pequenininha e tem a mesma quantidade, é o mesmo líquido”. Nesta elaboração, o inesperado, comparar recipientes de dimensões variadas, parece possibilitar um progresso no estabelecimento do isolado. O exame cuidadoso das condições da situação problema de comparar recipientes encaminha para uma análise que toma um novo nível de isolado, este que estabelece o elo entre altura e largura como elemento relacionado à medida de volume. Dessa maneira, embora estando conceitualmente incorreto associar apenas duas dimensões à comparação de volumes, desenvolve-se a tentativa de restabelecer novo nível de isolado – aspecto contínuo que inter-relaciona largura e altura. A esse novo conteúdo isolado ainda não foi possível corresponder unidades de medida de modo a reutilizar a forma numérica conhecida, o número natural.

A divisão de terras às margens do rio Nilo

Abordamos a fração de modo a envolver os alunos no movimento complexo de reflexão sobre uma situação problema, cuja resolução envolve a participação de todos, integrando pensamento, ação e linguagem. A atividade se desenvolveu tendo como objetivo comum, dividir igualmente uma porção amorfa de terra, virtualmente às margens do Nilo, entre um número determinado de pessoas. Uma porção de terra é um contínuo indefinido que não gera imediatamente a percepção de uma porção/unidade como acontece num conjunto de ovelhas. Deste modo cria-se a necessidade de quantificar uma superfície.

Simulamos a divisão dos terrenos, usando a história expressa na figura 6. Com ela, sugerimos a reflexão sobre a criação de unidades de medida de superfície, com a proposta de distribuição das terras às margens do rio Nilo, na qual permite-se criar livremente respostas sem a preocupação de expressá-las em linguagem formal matemática, visto que na atividade não é disponibilizado o conceito formal de medida ou mesmo mostradas tecnologias para medir.

Trata-se de criar uma unidade de medida de superfície a partir do conhecimento que o aluno tem elaborado. Essa tarefa complexa envolveu pensar sobre a forma geométrica, especificando elementos desta para constituição da unidade artificial, a qual foi atribuída a configuração de lotes retangulares.

Inicialmente a aluna Dama sugere a divisão proporcional ao número de pessoas da família, mas os alunos apóiam a proposta de Cari que recomenda a divisão de terrenos iguais. Destacamos a seguir alguns momentos da divisão do terreno. As alunas Cari e Dama explicam para os colegas, mostrando no chão, como deve ser a divisão.

Cari: Aqui são as margens [faz o desenho de um “quadrado” no chão representando o rio]. Aí uma pessoa vai contar os passos. Um exemplo, a Marc... aí ela conta. Desse lado [aponta com um graveto um lado do quadrado] faz de conta que tem 16 passos, como o quadrado é igual, tem 16 em todos os lados. Aí a gente vê quantos alunos tem, professora Ana![a aluna chama a professora da classe para saber o total de alunos]

Dama responde: 38. Cari: 38, tirando 1, tirando 2 [tira dois alunos que não são freqüentes] são 36. Trinta e seis dividido por...

Professora: Aí como é que marcaria os terrenos?

Cari: Aí a gente faria 36 dividido por... 48, dividido por ...16 mais 16, mais 16 ... péra aí. Ah! É só fazer 16 vezes 4. A gente faria as contas e quanto desse o resultado, seria os passos de cada um. [faz uma conta de divisão no chão]

Dama: os passos. Dama: Cada um fica perto de uma árvore, e marca o seu pedaço.

Professora: E como é que faz para os pedaços serem todos iguais? Dama: Aí tinha que medir.

Cari: Aí a pessoa faz um quadrado [desenha no chão com o graveto um quadrado representando o terreno ao lado do Nilo] e vai contando os passos [marca com riscos a subdivisão da lateral do terreno com o uso de passos].

Dama: A gente vai começar dali até o rio, contar os passos até o rio. [mostra a distância indicada pela flecha maior na figura 7] Aí a gente ia dividir esse espaço por 38 alunos, aí depois a gente ia dividir assim, e ia contando e dividi por 36 alunos.

Professora: Aí não vai sobrar nada. E se chegar uma família? Leo: Cada casa dividia.

Jaque: Assim, dona Érica, [faz gesto com a mão mostrando a distância indicada pela flecha maior na figura 7] cada um fica com um pouco e deixava pra lá [extremidade oposta à margem do rio Nilo, indicada pela flecha maior na figura 7] um espaço.

Cari: O rio, faz de conta que é um quadrado [fala enquanto desenha com o graveto um quadrado no chão], o quadrado tem quatro lados, a gente usaria só duas [se refere as laterais]. Aí, essas outras duas, Dona Érica, ficaria um espaço para quem chega.

FIG. 7 – Representação da visão geral das terras às margens do rio Nilo.

Percebemos duas soluções para o problema da divisão do terreno às margens do rio Nilo. Cari sugere o formato quadrado para o terreno-lote e propõe a divisão de cada lateral deste quadrado entre os 36 alunos da classe. Ao expor sua proposta, Cari deixa entender que está pensando na divisão do perímetro e não da superfície do terreno. O raciocínio da aluna parece centrar-se numa forma algorítmica de resolução, expressa quando realiza uma operação de divisão entre o número de alunos da classe e a quantidade de passos que sobrepõem os lados do quadrado, de modo a obter um resultado numérico.

Dama contribui com outra forma de elaboração ao expressar: “Cada um fica perto de uma árvore, e marca o seu pedaço”. Sua resolução cria uma unidade visível de terreno-lote, mais ligada a uma noção de medida que, embora primária, acaba dividindo por correspondência um-a-um, ou seja, cada árvore identifica um “pedaço” de terreno que, por sua vez, corresponde a uma criança. Embora haja a criação de uma unidade visível do terreno, expressa na definição de uma unidade de superfície que corresponda com a forma numérica, sua proposta não expressa preocupação em que a soma das porções individualizadas de superfícies seja a totalidade da margem do rio Nilo.

As elaborações das alunas confirmam que as imagens são importantes para comunicar o novo conteúdo envolvido na ação de quantificar aspectos contínuos. Durante suas explicações as alunas apresentam traçados e figuras como forma de linguagem e evidenciam a importante inter-relação da geometria no estabelecimento de nexos nesta medição. No entanto, para Cari os aspectos geométricos não parecem ser relevantes para resolver o problema. Embora sua resposta seja mais adequada, do ponto de vista matemático, na clareza de que é preciso fazer uma conta de dividir, a aluna se fixa no movimento aritmético e despreza o conteúdo geométrico de medir, envolvido na resolução do problema de dividir superfícies, submete assim o conteúdo à forma.

Dama, embora tenha uma visão elementar de medida, expressa uma tentativa de resolução que não ignora o conteúdo de medida, o aspecto contínuo. Em sua solução encontramos o movimento de criação da unidade artificial na busca de referências em objetos como as árvores, a calçada da quadra, o tamanho do passo para propor sua solução. Neste movimento reside a transição do aspecto discreto, inerente à contagem de unidades naturalmente separadas umas das outras – e conteúdo nesta contagem – para o aspecto contínuo, novo conteúdo, no momento da concepção da unidade artificial. Percebe-se a tentativa de imprimir uma forma antiga a um conteúdo novo, movimento que impele para a criação da unidade de medida.

A proposta que resulta na divisão do terreno é construída por Dama e Jaque. Jaque apresenta a solução apoiando-se na proposta de Dama de subdividir uma lateral do terreno-lote às margens do rio. Para expressar sua proposta utiliza-se de desenhos que mostram a possibilidade de marcar os terrenos-lote lado a lado. Dama compreende a idéia de Jaque e a complementa, enunciando a divisão conforme mostra a figura 8 a seguir.

FIG. 8 – A divisão de terras às margens do rio Nilo realizada por Dama e Jaque.

A unidade artificial, terreno-lote, concepção inicial de Dama, é abandonada para a medida linear da lateral do terreno às margens do rio, a lateral que faz limite com a quadra. Dama parece acreditar não ser necessário medir a lateral oposta quando expressa: “Conta daquela ponta do cimento até aqui [ver Figura 7], aí depois daqui até ali, e depois já sabia quanto que tinha ali, porque já tá contando aqui. Aí depois a gente ia dividir o espaço”.

O objetivo de distribuir igualmente as terras às margens do rio Nilo é alcançado. Embora esta distribuição não seja feita com o uso da unidade de superfície, e sim por sua lateral, unidade de medida linear, nota-se que, na solução do problema, cumpriram-se as etapas consideradas por Caraça (1998) como essenciais na medição. A primeira, com a escolha de uma unidade de medida de mesma espécie que a grandeza a ser medida.

Em relação ao procedimento das alunas, usou-se “passo” para comparar a lateral do terreno às margens do Nilo – ambas medidas lineares. A segunda, com a comparação desta unidade, isto é, verificação de quantas vezes cabe esta unidade, na grandeza a ser medida. E a terceira, com a representação do resultado mediante a expressão numérica, “dois passos” por aluno, que permitiu que chegassem ao resultado da distribuição dos terrenos-lote entre os alunos da classe. As duas primeiras etapas retratam a atuação relacionada ao conteúdo – aspecto contínuo da lateral do terreno, a terceira, tem relação com a forma numérica que resulta da ação, medir.

Padronizando a unidade de medida linear e criando o instrumento

De fato o processo de medição envolve necessariamente, a escolha de uma unidade padronizada (unidade de medida artificial) que, quando comparada ao objeto a ser medido tem a função de restabelecer a correspondência biunívoca entre a quantidade de unidades de medida em que se divide o objeto e os números naturais.

Nas atividade que desenvolvemos, lembramos aos alunos que os terrenos do Egito eram iguais porque os funcionários do faraó faziam as medições depois da cheia do rio Nilo. De comum acordo, os alunos selecionaram uma medida padrão, dois por cinco passos, para remarcar os terrenos. Durante esta remarcação os alunos perceberam que seus terrenos apresentavam dimensões diferentes. A necessidade de uma unidade de medida padrão é percebida em três momentos distintos de seus diálogos. No primeiro, os alunos entendem que o uso do passo-pé não padronizado resulta em terrenos de diferentes dimensões após a cheia do Nilo. A observação de Prisc possibilita ao grupo a percepção de que “alguns terrenos vão ficar diferentes”, justamente porque existe uma diferença na dimensão usada como unidade de medida, ou seja, seu “passo(pé)” é diferente de outro aluno.

No segundo momento, Jaque manifesta a idéia de um único parâmetro de medida, unidade de medida. A aluna indica que os terrenos ficariam iguais se uma só pessoa marcasse de todos os grupos. Embora sua solução aponte o uso de um único parâmetro, ainda não estabelece um procedimento que permita aos grupos usarem concomitantemente este parâmetro, o que significaria poder transportar a unidade de medida para um objeto, transformando-o em instrumento de medição. No momento seguinte, Apa e Dama manifestam a necessidade de um instrumento de medida quando enunciam que é preciso “ter alguma coisa” ou que se “devia pegar um pau,(...) aí a gente media com aquele pau todos os terrenos”.

De fato, para que haja uma forma mais precisa de medição, as unidades artificiais devem ser padronizadas. A necessidade de padronização das unidades de medida ocorreu, segundo Caraça (1998), especialmente pelo intercambio estimulado pelo comércio.

Na situação de aprendizagem, os grupos perceberam a necessidade e criaram meios de resolver o problema decorrente do uso de unidades de medida de comprimento não padronizadas, dando indicações do uso do instrumento de medida, quando sugerem o barbante e a porta como referencial. Essa percepção pode assinalar o entendimento de que o comprimento de dada parte do corpo ou objeto, escolhido como unidade de medida única, pode ser transposto para outro objeto – pedaço de pau ou barbante – com o propósito de servir de instrumento de medida. O instrumento de medida evoca, para a unidade artificial, a forma da unidade natural, isto é, seu aspecto discreto.

Medindo as sobras – criando a fração

Com essa nova forma de utilização dos números naturais, o restabelecimento da correspondência biunívoca entre a quantidade de unidades de medida e os números naturais, os povos da antiguidade observaram outro problema, que foi essencial para a elaboração da fração: como representar numericamente o resultado dessa comparação, quando a unidade padrão não cabe um número inteiro de vezes no objeto a ser medido?

Esse problema, resolvido pelos povos antigos com a criação da fração, não é tão antigo assim, quando se trata de restabelecer uma relação de ensino, na qual o aluno pense criativamente sobre o conceito de fração.

Os alunos mediram os terrenos e apresentam um registro próprio para as dimensões menores que o cúbito – as sobras. Em debate sugeriram a criação de outra unidade de medida padrão menor que o cúbito do faraó, o palmo do faraó, com a qual realizam novas medições. Nesta nova medição, mesmo utilizando duas unidades padrão: o cúbito e o palmo, ocorre a reincidência de sobras. Os alunos respondem individualmente e em grupos questões sobre as dificuldades encontradas. Criar indefinidamente novas unidades artificiais: cúbito, palmo e dedo; desconexas entre si, não oferece campo fértil para a criação da fração uma vez que permite que a fixação do aspecto discreto na unidade artificialmente criada e a permanência na forma numérica que lhe é correspondente, o número natural.

De tal modo, para que os alunos refletissem sobre o limite encontrado na medição experimental de uma extensão linear e, estabelecessem a relação entre as unidades de medida menores e o cúbito, embrião do conceito de fração, sugeriu-se a questão: como medir as sobras sem criar novas unidades artificiais?

Decidido o modo de medir sem as novas unidades artificiais, oferecemos para cada grupo duas tiras de papel representativas da lateral de um terreno, para que os alunos medissem e registrassem a medição. Estas tiras de papel tinham dimensões diferentes e ambas não comportavam um número inteiro de vezes o cúbito. Apresentamos o quadro contendo o resultado das medições e da discussão do grupo sobre duas questões, que são: 1) para medir as sobras criou-se uma nova unidade artificial – o palmo. Isto foi suficiente? e 2) como medir as sobras sem criar novas unidades artificiais?; os alunos elaboraram o painel que segue, para o debate.

Soluções para medir as sobras sem criar novas unidades artificiais.

Grupo 1
Lean, Die, Eli e Bru(o)

Grupo 2
Cami, Iva, Tali e Samu

Grupo 3
Vini, Char, Rica, Iv e Muri

 



As respostas à primeira questão confirmam a preocupação com a persistência das sobras, compreendendo-as, de modo mais geral, para qualquer unidade artificial criada, como podemos observar no grupo 5 ao manifestarem: “Não, porque sempre dá novas formas de medida para medir terrenos porque sempre sobra espaço”.

Quanto às sugestões para a resolução da segunda questão, como medir as sobras sem criar novas unidades artificiais, notamos quatro elaborações diferentes. Na primeira, observada nos grupos 5 e 6, parece que a forma de solução para o problema está em usar apenas os cúbitos e os “pés” do faraó na tarefa de medir, conforme ilustrado no Quadro I. Estes alunos observam que a criação de novas unidades artificiais não resolve o problema das sobras, no entanto, não parecem ponderar o problema, avaliando a possibilidade do surgimento de sobras como uma ocorrência possível com o uso de qualquer unidade artificial, ou seja, não a interpretam de modo mais geral e, assim, estabelecem que cúbitos e pés podem dar conta da tarefa de medir a lateral do terreno.

Na segunda elaboração ocorre a transposição da dimensão da sobra para o cúbito, evidenciada quando utilizam as marcas para representá-la. Manifestam a existência da sobra de modo essencialmente externo, caracterizando uma interpretação perceptiva desta dimensão. Esta elaboração é observada no grupo 3, quando manifestam: “e a sobra nós medi com o cúbito e marcamos com uma canetinha” e, igualmente, no grupo 4. Observa-se que o conteúdo – aspecto contínuo – se sobrepõe à forma numérica conhecida, o número natural e sem estabelecerem uma correlação forma e conteúdo, representam a dimensão apenas de modo perceptivo.

A terceira elaboração é observada nos grupos 2 e 4. Estes grupos assinalam, para resolver o problema das sobras, respectivamente o dedo e o palmo como unidade artificial complementar ao cúbito, na medição, e estabelecem, diversamente, uma relação entre os cúbitos e essas unidades artificiais complementares, sendo que:

? O grupo 2 estabelece que o cúbito corresponde a catorze dedos e argumenta em favor da utilização de dedos como unidade de medida geral na medição de dimensões. Este grupo sugere que usemos o cúbito para medirmos dimensões muito grandes, fazendo a equivalência do cúbito aos 14 dedos, diminuindo a ocorrência das sobras, conforme evidencia Cami quando expõe “... cada cúbito é catorze dedos e quando a gente medi dois cúbitos são vinte e dois..., não, vinte e oito dedos”. A resolução no interior deste grupo, embora não resulte no estabelecimento da linguagem fracionária, como conhecemos atualmente, manifesta o vínculo que relaciona a dimensão da unidade de medida criada como parte da existente e;
?
? O grupo 4, embora não explicite a relação do palmo com o cúbito no Quadro I, no debate também apontam a relação entre a dimensão da unidade de medida criada como parte da existente, ao evidenciar que cada cúbito equivale a dois palmos. No entanto, considerando que palmos admitem a existência maior de sobras, este grupo propõe que as sobras, menores que o palmo, sejam identificadas de modo perceptível, marcando-as no próprio palmo, conforme ilustram.
?
O grupo 1 manifesta a quarta elaboração, com a subdivisão do cúbito a partir da sobra obtida. Conforme explicam para a classe, o quarto é resultado da comparação da sobra com o cúbito, ou seja, os alunos obtiveram uma sobra e observaram que ela cabe quatro vezes no cúbito e, deste modo, representa um quarto deste. Também se pode notar que este grupo utiliza uma forma numérica fracionária para representar a medida da sobra.

As ações dos alunos nesta atividade, sobretudo nas duas últimas elaborações, parecem indicar modificações que apontam para o estabelecimento de uma relação quantitativa entre as unidades de medida criadas – o dedo, o palmo e a sobra – e o cúbito, com a respectiva relação de equivalência a: catorze dedos, dois palmos e quatro quartos. Em nossa interpretação, esta modificação configurou a existência de uma orientação comum para ações concretas diante de um grupo de problemas que envolveu a necessidade de quantificação de aspectos contínuos unidimensionais, cuja dimensão não comporta um número inteiro de vezes a unidade de medida, essencial para a elaboração conceitual da fração. Podemos considerar que a conexão estabelecida por estes grupos entre a unidade de medida maior e a menor pressupõe mudanças na maneira de pensar. Ao modificarem os modos de funcionamento e regulagem de suas próprias ações, se adquire um modelo que as orienta num conjunto de situações semelhantes, caracterizando um pensamento teórico desses alunos.

Forma e conteúdo se inter-relacionam nesta elaboração quando se propõe a articulação da forma numérica na representação das sobras. A solução que propõe a medição com a unidade dedo parece ser sugerida para atender ao uso da unidade natural sem qualquer modificação. Entretanto o grupo 1 articula a forma numérica e usa a fração ¼ para estabelecer a correlação entre a sobra e a unidade de medida - cúbito.

A fração resulta da comparação da sobra com o cúbito, observando que ela equivale à parte que corresponde à subdivisão deste em quatro unidades.

Conclusões

Nossas análises apontam que os alunos pensaram sobre os aspectos discretos e contínuos dos objetos envolvidos na sua quantificação. Eles também elaboraram juízos sobre os aspectos envolvidos na quantificação do aspecto contínuo de grandezas uni, bi e tridimensionais, ao sugerirem soluções para o problema da divisão do terreno às margens do rio Nilo e organizarem os recipientes. Nessas elaborações foi possível perceber diversas inter-relações da forma e conteúdo caracterizadas, de um lado, como juízos, por estarem mais ligados aos aspectos perceptíveis e, de outro, como conceitos ou juízos mais amplos, por abrangerem ação e pensamento de forma mais geral.

A criação da unidade artificial por estes alunos mostra que o novo conteúdo – o aspecto contínuo – se modifica à base do aspecto discreto, inerente à contagem de unidades naturalmente separadas umas das outras. Nas soluções dadas isto pode ser observado quando buscam referência em objetos como: as árvores, a calçada da quadra, o tamanho do pé na solução que divide satisfatoriamente o terreno.

Ao refletirem sobre os aspectos importantes na marcação dos terrenos, os alunos evidenciaram que o problema torna-se real para eles visto que, de um lado, assinalam preocupações com a invasão de terras, localização do terreno e prejuízos no plantio e, de outro, usam para denominar as laterais do terreno uma linguagem própria, apontando que, diferente de ser considerado um retângulo, este desenho adquire significação real, correspondente à atividade com terrenos.

Em outros trabalhos, freqüentemente, é apresentado ao aluno um objeto para ser subdividido, com formato e unidades de medida antecipadamente apresentados ao aluno. Estas atividades centram a aquisição do conceito de fração na aplicação mecânica da unidade de medida, alienando o aluno da reflexão sobre o nexo da criação da unidade artificial e sobre os conteúdos discreto e contínuo inerentes à contagem.

A interpretação da unidade de medida considerando-a unicamente como uma unidade discreta, sem a percepção de qualquer correlação entre as unidades de medida criadas para sobrepor as sobras e aquelas já existentes, equivale a uma análise não abrangente do papel das unidades de medida. Vale a advertência de que o centímetro e o milímetro, em relação ao metro, podem ser interpretados como unidades de medida desconexas, de modo semelhante ao observado para o cúbito, o dedo e o palmo, se analisados isoladamente, sem uma preocupação com o estabelecimento do nexo mais abrangente do papel das unidades de medida.

As atividades, com base no desenvolvimento lógico-histórico e na perspectiva da lógica dialética permitiram envolver o aluno no movimento de elaboração deste outro nexo fundamental para a fração, caracterizando a percepção isolada das unidades de medida apenas como um momento de transição das formas de pensamento. Por meio da atividade, desencadeamos a elaboração da nova relação numérica que compreende a unidade de medida menor como parte da maior, permitindo-se o estabelecimento de nexos que caracterizam um pensamento teórico envolvido no conceito de fração.

Ao apontarmos atividades fundamentadas na inter-relação forma numérica e conteúdo de desenvolvimento do conceito de fração, possibilitou-se que o registro fosse expresso de maneira criativa, visto que não enfatizamos a linguagem formal da fração. Na criação de novas unidades de medida, elementos coadjuvantes na representação mais precisa das sobras, novamente se nota esta inter-relação, observada na tendência em organizar e transformar o conteúdo – dimensão linear, à semelhança do aspecto discreto inerente à contagem com número natural.

Em nossa interpretação os alunos articulam forma e conteúdo e a relação quantitativa permitida nesta conexão caracteriza o conhecimento teórico uma vez que se revela uma transformação do pensamento e ação articuladamente. Expressa-se um movimento mais geral do fenômeno medição, o juízo particular de medir as sobras com os palmos e dedos se transforma na possibilidade de correlacionar, de modo geral, qualquer unidade com subunidade de medida, estabelecendo relações quantitativas entre elas. A forma de subunidade aceita a correspondência um-a-um com os números naturais, no entanto, os registros dos alunos evidenciam o caráter diferenciado de utilização deste número, visto que usam ilustrações e palavras coadjuvantes na representação das subunidades de medida. Do ponto de vista educacional, é nesta conexão que reside a idéia essencial para o novo campo numérico dos racionais.

Referências bibliográficas

ALEKSANDROV A. D.; KOLMOGOROV, A.N & LAURENTIEV, M.A.. La matemática: su contenido, métodos y significados. Madrid: Alianza Universidad, 1988.

BOYER, Carl. História da Matemática. Trad. Elza S. Gomide. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda., 1974. 488p.

CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. 2ª Ed. Lisboa: Gradiva, 1998. 295p.

CATALANI, Érica Maria Toledo Catalani, A inte-relação forma e conteúdo no desenvolvimento conceitual da fração. 2002. 216p. (Dissertação de Mestrado, Faculdade de Educação, UNICAMP, Campinas/SP).

CHILDE, V. Gordon . O que aconteceu na história. 2ª Ed. Trad. Waltensir Dutra. Rio de Janeiro:Zahar, 1966, 295p.

DAVÝDOV, V.V. Tipos de generalización en la enseñanza. 1ª ed. 2ª reimpressão. Ciudad de La Habana-Cuba: s.ed., 1982. 485p.

FICHER, Ernest . A necessidade da arte. 3ª Ed. Trad. Leandro Konder. Rio de Janeiro: Zahar, 1959. 254p.

HOGBEN, Lancelot. Maravilhas da matemática. 2ª ed.Trad.Paulo M.da Silva, Roberto Bins e Henrique C. Pfeifer. Porto Alegre: Globo, 1970. 762p.

KOPNIN, P.V. A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, 1978.

LANNER DE MOURA, Anna Regina. A medida e a criança pré-escolar. 1995. 210p. (Tese de doutorado, Área de Metodologia de Ensino de Matemática, UNICAMP,Campinas/SP)

LIMA, Luciano C.. Da mecânica do pensamento ao pensamento emancipado da mecânica. Programa Integrar, Caderno do Professor. Módulo Trabalho e Tecnologia. Confederação Nacional dos Metalúrgicos da Central Única dosTrabalhadores - CNM/CUT, 95-101, 1998.

LIMA, Luciano & MOISÉS, Roberto . A fração: a repartição da terra. São Paulo: CETEAC/CIART, 1998.

LLINARES, Salvador, SÁNCHEZ, Maria Vitória. Fraccioes la relacion parte-todo, Espanha: Editorial Sínteses, 1988. 168p.(Col. Matematicas: cultura y aprendizaje)

MIGUEL. Antonio. As potencialidades pedagógicas da história da matemática em questão: argumentos reforçadores e questionadores. Zetetiké/Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação, Círculo de Estudo, Memória e Pesquisa em Educação Matemática, UNICAMP. Campinas, 5 (8): 73-105, jul./dez.1997.

PRADO, Esther Pacheco de Almeida. Uma Reflexão sobre Formação de Professores no Ensino da Matemática. 2000. (Dissertação de Mestrado, Faculdade de Educação, PUC, São Paulo).


 
Voltar