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  O PROBLEMA MATEMÁTICO E SUA DIMENSÃO PROBLEMATIZADORA

Maria Aparecida Vilela Mendonça Pinto Coelho - FE/UNICAMP

Introdução

Partimos do pressuposto de que problema é uma situação para a qual não conhecemos um algoritmo ou um meio seguro para orientar a resolução. Existem vários significados atribuídos à Resolução de Problemas e diversas técnicas podem ser usadas na sua prática pedagógica, de maneiras muito diferentes, por diferentes professores. De acordo com Fiorentini (1994) esse fato ocorre devido à falta de uma teoria filosófica/epistemológica que fundamente a Resolução de Problemas. Algumas perspectivas pedagógicas sobre o tema se fazem notar na prática educativa como mais usadas, como aquela que apresenta o problema como aplicação dos conteúdos e entende que ele deve ser usado no último estágio da aprendizagem de cada tópico, após o estudo da teoria e do treinamento de técnicas operatórias ou algoritmos. Uma outra perspectiva é a que entende a Resolução de Problemas como um conteúdo técnico como qualquer outro do currículo e que deve ser ensinado através de passos ou princípios heurísticos, ou seja, ensinar sobre resolver problemas. A perspectiva da Resolução de Problemas como ponto de partida para o ensino da Matemática é aquela que entende o problema como gerador de uma situação de aprendizagem que leva o aluno a buscar o conceito matemático para solucioná-lo (ONUCHIC, 1999, 2004).

Alguns autores (CARVALHO, 1994, MENDONÇA, 1993, COELHO, 2005), entre outros, abrem espaço para a concepção de Resolução de Problemas como uma abordagem da Matemática que prioriza a compreensão e a produção de sentidos e significados dos conceitos matemáticos nas relações dialógicas. De uma forma mais ampla parecem conceber a Matemática como um corpo de conhecimento que encontra seu sentido para cada indivíduo, dentro de um determinado grupo social, em um dado momento histórico. Ainda entre os autores citados existem diferentes concepções, diferentes formas de entender o problema matemático. Para Carvalho (1994) ele deve permear todo o ensino da Matemática, ou seja, qualquer situação de aprendizagem e até mesmo os exercícios mais simples devem se constituir em oportunidades para a problematização e se desenvolver em clima de pesquisa.

‘Não se aprende Matemática para resolver problemas e, sim, se aprende Matemática resolvendo problemas’. Diante dessa perspectiva, qualquer situação que vise favorecer o aprendizado deve constituir-se em ‘situação problema para o aluno’ a que se destina, ou seja, a proposta de tarefa feita pelo professor deve ser tão interessante que crie, na classe, um clima de pesquisa, de busca de solução para os problemas que emergirem da proposta. Nessa perspectiva não existe “aula” de resolução de problemas e sim situações de ensino onde, a partir de pesquisas sobre problemas emergentes ou de propostas problematizadoras, é elaborado o conhecimento matemático, e essa elaboração suscita novos problemas (p. 82).

Mendonça (1993) nos apresenta o seu conceito de problematização, baseado nas idéias libertadoras de Paulo Freire. A autora destaca que a noção de problematização evoca um ideal para conferir significado a uma experiência de vida, uma atitude artística que se torna evidente pela arte de formular perguntas, um propósito para desinibir os poderes cognitivos e criativos do aluno. Coloca o diálogo no centro do processo de busca do conhecimento e adota como método para alcançar esse conhecimento a Modelagem Matemática. A educação problematizadora coloca como ponto de partida a exigência da superação educador-educando, sem a qual não é possível a relação dialógica. A problematização é inseparável da atitude de perguntar, ou seja, orienta-se dentro de uma epistemologia da pergunta e confere significado a uma experiência vivida em um dado momento.

Assim, veremos que a problematização é resultante de um trabalho com todos os nossos problemas, o afetivo, o social, o emocional, o cognitivo, entre outros, visando, no caso especial da Matemática, tratá-la vinculada ao meio que envolve o educando e, naturalmente, sob esse novo paradigma, o papel histórico da Matemática na sociedade tem lugar de destaque (p. 18).

Desta forma pode-se excluir o agir por pressão externa ou sobre uma situação não experienciada pelo indivíduo. Envolve componentes subjetivos como o afeto e a emoção e procura assegurar aos alunos uma imagem valorizada de si mesmos e persuadi-los de que eles têm coisas a dizer e coisas a contribuir que valem a pena. Argumenta que os questionamentos e dúvidas são produto da ação mental do indivíduo na interação com coisas e pessoas que o despertam para o conhecimento e sob essa ótica não tem sentido entrarmos na sala de aula e deixarmos os problemas lá fora; pelo contrário, o professor tem como tarefa questionar e analisar os problemas criticamente e, se possível, fazer deles o propulsor do trabalho pedagógico. Aponta para a Modelagem Matemática como uma estratégia de aprender Matemática:

O modelo matemático é uma representação matemática, a mais aproximada possível, da situação real em estudo, cuja diferença do real é, em alguns casos, somente de escala. A modelagem matemática, por sua vez, é uma expressão derivada da primeira, tem um sentido mais global – é um processo que se inicia numa situação real (ou suposta), problematizando-a; o resultado dessa problematização é um problema que terá solução por meio de um modelo matemático. (MENDONÇA, 1993, p. 284).

A autora destaca quatro estratégias de problematização para desenvolver o seu trabalho: flagrar situações do contexto escolar ou mais amplo, convocar os alunos para a escolha de “temas geradores”, partir de um assunto (tema) previamente escolhido ou partir de um modelo matemático conhecido. Acrescenta que a problematização freiriana se constitui em uma extensão e aprimoramento da Resolução de Problemas. O estudo da Matemática parte de um contexto não matemático e a Matemática é um dos elementos usados na interpretação e na busca de solução. Trabalha com problemas matemáticos aplicados ou situações-problema reais, isto é, situações pertencentes ao mundo real. Contesta a maneira de atuar dos educadores por meio de Resolução de Problemas, como operadores de uma proposta anti-problematizadora que se destaca pela necessidade de seduzir ou conquistar através de um jogo afetivo-intelectual e a necessidade de conduzir, que consiste em antecipar uma seqüência de passos de um método e segui-los sem diagnosticar se o aluno assimilou cada um deles. Conclui que ensinar por meio de Resolução de Problemas passa a ser uma técnica a mais dentro do fazer educativo, uma atitude ainda perfeitamente enquadrável na educação condutista.

Podemos perceber que a autora (MENDONÇA, 1993) se refere à resolução de problemas na perspectiva técnica ou como aplicação de conteúdos e não como meio de ensinar Matemática, que valoriza o conhecimento prévio do aluno e sua experiência de vida. Nesta perspectiva os problemas são resolvidos pelos alunos, em grupos, e o professor é o mediador ou facilitador da aprendizagem.

Mendonça (1993) sugere uma reforma para a educação matemática baseada em maior atenção à curiosidade e ao pensamento e menos em habilidades específicas e treinamento das técnicas. A proposta da autora se refere á problematização freiriana entendida como:

- um diálogo interno e/ou externo que se instala no educando, quando ele se volta para situações de sua realidade concreta e procura desinibido investigá-la;

- um diálogo, a partir da análise do instrumental matemático, que facilita a conversão de um problema estudado na sua representação matemática, de modo a analisar problemas análogos, dentro de outros contextos. Prepara-se, desse modo, o caminho evolutivo do conhecimento matemático: a partir do estudo de problemas locais amplia-se o modelo matemático para a análise de situações mais amplas (p. 23).

Nessa perspectiva, Diniz (2001) argumenta que é preciso que o aluno se perceba como ser pensante e produtor de seu próprio conhecimento. Acredita não haver dúvidas de que bons problemas, situações próximas da realidade do aluno e temas motivadores favorecem sua aprendizagem e envolvimento, mas, na sua opinião, a situação problema não precisa ser aplicada a um contexto externo à Matemática. Por outro lado essa autora admite que, embora ela não perceba como relevante o fato de a situação problema ser ou não aplicada, escolher problemas adequados para cada aula é de grande importância no processo, visto que a perspectiva da Resolução de Problemas caracteriza-se por uma postura de inconformismo diante dos obstáculos, sendo um exercício contínuo de desenvolvimento do senso crítico e da criatividade. Na seção seguinte apresentaremos os fundamentos teóricos da Problematização que se constitui e é constituída no processo de significação sendo, portanto, uma concepção diferente da Problematização freiriana em alguns aspectos.

A Problematização e os Signos

Como nos afirma Smolka (2000, 2004), é impossível ao homem não significar: a significação faz parte da atividade humana. O homem busca e atribui sentidos, procura compreender o mundo em que vive e os outros homens com os quais convive, com vistas a entender a si mesmo e aos fatos que fazem parte da sua história. De acordo com Vygotsky (1987, 1995, 1999, 2002, 2003), o que distingue as funções psíquicas superiores é o fato de que representam uma outra classe de atividades do sujeito, inerente apenas ao ser humano. Pressupõem uma interação mediada entre o homem e a natureza, produzindo uma atividade autêntica, não provocada somente por estímulos. Esses meios permitem ao homem decidir e modificar a situação criada e, portanto, a sua própria sorte. O homem cria, assim, estímulos artificiais que se diferenciam dos outros, tanto por sua origem como por sua função. Vygotsky (1995) os denomina signos

Chamamos signos aos estímulos-meios artificiais introduzidos pelo homem na situação psicológica, que cumprem a função de autoestimulação;(...) todo estímulo condicional criado pelo homem artificialmente e que se utiliza como meio para dominar a conduta – própria ou alheia. (...) O homem introduz estímulos artificiais, confere significado à sua conduta e cria com ajuda dos signos, atuando desde fora, novas conexões no cérebro (p. 85).

Os signos são mudanças que se efetuam a partir do exterior do indivíduo como elementos principais para a transformação das funções naturais em superiores, tornando possível o entendimento do desenvolvimento cultural. Partindo dessa tese Vygotsky (1995) introduziu em sua investigação um novo princípio regulador do comportamento, uma nova idéia sobre a determinação das reações humanas: o princípio da significação. Inclui, em um conceito geral de “desenvolvimento das funções psíquicas superiores”, dois grupos de fenômenos: os processos de domínio dos meios externos de desenvolvimento cultural e do pensamento: a linguagem, a escrita, o cálculo, o desenho; e, em segundo lugar, os processos de desenvolvimento das funções psíquicas superiores especiais que, na psicologia tradicional, se denominam: atenção voluntária, memória lógica, formação de conceitos, etc. Seu objetivo é compreender o entrelaçamento dos dois tipos de processos, observando suas peculiaridades em cada momento histórico do desenvolvimento.

Segundo Smolka (2004), ao falarmos de signo, transitamos nos âmbitos da filosofia, da lingüística, da semiótica, da psicologia; esbarramos nas diferenças ligadas a variadas tendências teóricas, argumentações e explicações. Algumas concepções de signo traziam implicadas noções de representação, de semelhança e substituição, como estar no lugar de alguma coisa. Todavia, a simples imagem ou mera substituição de uma coisa por outra não caracteriza o signo. Ele só se torna signo sob a condição de manifestar a relação com aquilo que significa; além da representação é necessária uma re-flexão. O signo funciona como um elemento mediador, operador e conversor das relações sociais em funções mentais. São essas as características que o diferenciam de um simples sinal.

Para Vygotsky (2002) a estrutura de operações chamadas superiores requer um elemento intermediário entre o estímulo e a resposta, que é o estímulo de segunda ordem ou signo. Cria uma nova relação entre o estímulo e a resposta e para isso é necessário que o indivíduo esteja ativamente engajado no estabelecimento dessa ligação, que age sobre ele e não sobre o ambiente. É, portanto, um ato complexo, mediado, que substitui o processo simples de estímulo-resposta, conferindo à operação psicológica formas qualitativas novas e superiores, enraizadas na cultura: “o sistema de signos reestrutura a totalidade do processo psicológico, tornando a criança capaz de dominar seu movimento. Ela reconstrói o processo de escolha em bases totalmente novas” (p. 46).

Por outro lado, a atividade de utilização de signos nas crianças não é inventada e tampouco ensinada pelos adultos; surge após uma série de transformações qualitativas e são, quanto à sua natureza, históricas, sujeitas à lei fundamental do desenvolvimento. Originam-se de um processo dialético, e não como algo que é introduzido de fora para dentro. A história do comportamento da criança nasce, portanto, do entrelaçamento dos processos elementares, que são de origem biológica e das funções psicológicas superiores, de origem sócio-cultural. Entre o nível elementar inicial e os níveis superiores que são formas mediadas de comportamento, existem muitos sistemas psicológicos de transição, conhecidos como a história natural do signo. (VYGOTSKY, 2002, p. 61).

O desenvolvimento, de acordo com o autor, se realiza não em círculo, mas em espiral, passando por um mesmo ponto a cada nova evolução, enquanto avança para um nível superior. O signo age como um instrumento da atividade psicológica de maneira análoga ao papel de um instrumento no trabalho. Vygotsky (2002) analisa a analogia básica entre signo e instrumento, baseada na função mediadora comum a ambos. Por outro lado, a diferença essencial entre signo e instrumento consiste nas diferentes maneiras com que eles orientam o comportamento humano: o instrumento é orientado externamente e sua função é mudar os objetos e dominar a natureza. O signo, por outro lado, é orientado internamente; não modifica o objeto da operação psicológica, mas constitui um meio de controle do comportamento do próprio indivíduo. O caráter do signo é, portanto, de estabelecer relações e funcionar como um elemento mediador. Podemos, portanto, usar o termo função psicológica superior ou comportamento superior, com referência à combinação entre instrumento e signo na atividade psicológica. (VYGOTSKY, 2002, p. 73). Vemos, portanto, que o signo como instrumento psicológico, que se manifesta em determinadas condições materiais de produção, afetam e transformam os organismos, que passam a funcionar na esfera do simbólico e não mais apenas na esfera biológica. Uma das conclusões mais importantes levantadas por Vygotsky (2002) em suas investigações de caráter experimental geralmente com crianças em situação de brinquedo, na escola ou em ambiente clínico, foi sobre o papel essencial da fala na organização das funções psicológicas superiores:

O momento de maior significado no curso do desenvolvimento intelectual, que dá origem às formas puramente humanas de inteligência prática e abstrata, acontece quando a fala e a atividade prática, então duas linhas completamente independentes de desenvolvimento, convergem (p. 23).

A criança começa, então, a perceber o mundo não somente através dos olhos, mas também através da fala, que substitui o imediatismo da percepção “natural” por um processo complexo de mediação, adquirindo, desse modo, uma função sintetizadora. Smolka (2004) destaca a palavra como signo por excelência, como modo mais puro e sensível de relação social e, ao mesmo tempo, material semiótico da vida interior. O signo/palavra produz um redimensionamento intrínseco da atividade humana, tornando-se constitutiva dos sujeitos em interação:

É nesse sentido que falamos que o organismo vivo, vibrante, expressivo, requer interpretação e, somente na relação com o outro, torna-se corpo significativo, corpo que sente e pensa, corpo tornado signo, corpo com estatuto de sujeito, que se vê, se (re)conhece. Corpo marcado, afetado pelas práticas historicamente construídas, lócus de sensações, emoções, sentimentos, como lócus de relações (p. 43).

Vygotsky (2002) apresenta também conclusões de pesquisas que mostram a ligação entre linguagem e percepção e a importância do seu papel na solução dos problemas não-verbais, permitindo que o mundo seja visto com sentido e significado. Essas observações mostram que todas as percepções humanas são percepções categorizadas, ao invés de isoladas: “a percepção é parte de um sistema dinâmico de comportamento; por isso, a relação entre as transformações dos processos perceptivos e as transformações em outras atividades intelectuais é de fundamental importância” (p. 44).

A fala permite ao sujeito planejar a resolução de problemas e executar a solução elaborada por meio de uma atividade visível, substituindo a manipulação direta por um processo psicológico complexo, constituído pela motivação e intenções que estimulam o seu desenvolvimento. Dessa forma a fala tem a função de signo, que exerce a função de mediadora do comportamento da criança o qual, com a ajuda da fala, adquire a capacidade de ser sujeito e, ao mesmo tempo, objeto de seu próprio conhecimento. A possibilidade de combinar elementos dos campos visuais do presente e do passado num único campo de atenção leva à reconstrução da memória: “a verdadeira essência da memória humana está no fato de os seres humanos serem capazes de lembrar ativamente com a ajuda de signos.” (ibidem, p. 68). Vygotsky (2002) concebe a atividade intelectual/verbal como uma série de estágios nos quais as funções emocionais e comunicativas da fala são ampliadas pelo acréscimo da função planejadora. Essa constatação nos leva a concluir que a linguagem confere à criança habilidades para providenciarem instrumentos auxiliares na solução de tarefas difíceis como a Resolução de Problemas, ajudando-a a superar a ação impulsiva, ou seja, lançar-se à resolução de um problema sem antes ter elaborado uma estratégia para a ação. Nesse caso ela contribui também para habilitar a criança no uso dos processos metacognitivos, que se referem ao controle de seu próprio conhecimento.

Quando as crianças percebem dificuldades para solucionar um determinado problema, apresentam uma variedade de tentativas para atingir o seu objetivo, como: tentativas diretas, uso de instrumentos, falas dirigidas ao professor ou falas que acompanham a ação. Vygotsky (2002) destaca que esse amálgama de fala e ação tem uma função específica na história do desenvolvimento da criança e demonstra a lógica de sua própria gênese: “o caminho do objeto até a criança e desta até o objeto passa através de outra pessoa. Essa estrutura humana complexa é o produto de um processo de desenvolvimento profundamente enraizado nas ligações entre história individual e história social” (p. 40).

O desenvolvimento dos conceitos se produz também por influência da palavra, embora este não seja o único fator. O conceito se configura por uma reelaboração de imagens, a cargo do próprio sujeito e de mudanças complexas que se produzem ao transformar-se a imagem no momento dinâmico da composição de sentido, da eleição de alguns traços significativos, não sendo, assim, fruto de uma simples mistura de imagens isoladas. Os conceitos gerais são aqueles que não dependem de situações concretas e são aplicáveis a todos os casos, sendo configurados por processos de abstração e generalização das significações produzidas.

A fala introduz também mudanças na forma e na sua relação com as outras funções. De acordo com Smolka (2004) é através dela que redimensionamos os nossos modos de conhecer o mundo através das múltiplas relações com os outros. Imerso na trama dessas relações, o homem participa das significações que se produzem:

A questão da significação encontra-se, portanto, intimamente ligada ao logos – razão/discurso –, ao problema da cognição e do conhecimento, ao problema da linguagem. E os teóricos do conhecimento, da linguagem, da cognição, do desenvolvimento humano, acabam, de uma forma ou de outra, por enfrentar, incorporar, tangenciar ou deslocar o problema da significação (p. 35).

Esta autora nos alerta para o fato de que, ao problematizarmos a significação, enredamo-nos em uma trama complexa e não há forma de trabalharmos fora dela. Quando falamos, fazemos signos, donde provém a palavra ‘significar’. Signos e sentidos estão, desse modo, relacionados e deparamo-nos com movimentos diversos na busca de sentido (do conhecimento) e de (compreensão da) significação. Dessa forma, a probabilidade de as interpretações de duas ou mais pessoas em interação coincidir é praticamente nula, pois não podem assumir exatamente o mesmo papel, devido aos desejos e componentes pessoais diversos. Essas diferenças podem levar a conflitos que poderão ou não ser superados e essa contradição revela-se como parte integrante do processo de constituição das pessoas e das situações. O desenvolvimento se faz, então, por meio de crises e conflitos, e não se traduz em uma perspectiva evolutiva. Sempre podem ocorrer ganhos e perdas e, dessa forma, cada pessoa encontra-se imersa em redes de significações: “a Rede de Significações não existe como entidade, mas é uma apreensão pelo pesquisador da situação investigada e uma interpretação de como os componentes apreendidos articulam-se e circunscrevem certas possibilidades de ação/emoção/cognição.” (ROSSETTI-FERREIRA et alii, 2004, p. 31).Dessa forma, por meio de processos dialógicos intersubjetivos, as várias redes interligam-se e se superpõem em muitos pontos. É um processo contínuo e complexo de articulação de elementos, pelos quais as significações emergem.

O conceito de desenvolvimento de Vygotsky (2002) implica, também, a rejeição do ponto de vista de que o desenvolvimento cognitivo é o resultado de uma acumulação gradual de mudanças isoladas. Ele acredita que o desenvolvimento humano é:

Um processo dialético complexo caracterizado por periodicidade, desigualdade no desenvolvimento de diferentes funções, metamorfoses ou transformações qualitativas de uma forma em outra, embricamento de fatores internos e externos, e processos adaptativos que superam os impedimentos que a criança encontra (p. 97).

O pensamento científico vê revolução e evolução como duas formas de desenvolvimento mutuamente relacionadas; não requer, portanto, o oferecimento para o aluno de meios já prontos, externos ou artificiais, para que ele possa completar com sucesso uma determinada tarefa. Por outro lado, sugere que se espere até que ele, espontaneamente, aplique algum método auxiliar ou símbolo novo que possa passar a incorporar em suas operações. Esta abordagem é chamada método funcional da estimulação dupla, no qual a tarefa com a qual o aluno se defronta está, via de regra, além de sua capacidade no momento, não podendo ser resolvida com as habilidades que possui. Nesses casos é colocado diante do estudante um objeto neutro o os observadores concluíram que, nesses casos, os estímulos neutros adquirem a função de um signo, fazendo com que a operação assuma um caráter diferente em essência. Este princípio regulatório através do qual as pessoas, ao se esforçarem para solucionar um problema criam ligações temporárias e dão significados a estímulos previamente neutros, é o princípio amplamente difundido no comportamento humano, o da significação.

A questão da significação adquiriu lugar de destaque nas investigações de Vygotsky (1983, 2002) e a característica do signo como instrumento mediador e constituidor da atividade mental pode ser considerado como o aspecto original de sua contribuição para os estudos sobre o desenvolvimento humano. Suas idéias produzem um deslocamento conceitual, viabilizando novos modos de compreensão da significação como atividade humana e prática social:

Nesse quadro conceitual, opera-se uma passagem da representação à significação, o que implica que a formação de imagens é afetada e permeada por signos e sentidos socialmente construídos, ou seja, que aquilo que se produziu nas relações, se estabilizou e foi acordado entre as pessoas, isto é, deixou marcas que podem persistir e perdurar, de alguma forma, não só nos indivíduos, mas também nas relações com e entre outras pessoas. (SMOLKA, 2004, p. 41).

A significação, portanto, implica a representação, mas não se restringe a ela. Esta, como possibilidade de formação de imagens, idéias, pensamentos, funciona em um nível individual, embora se produza entre pessoas, com a mediação de signos. Quando tentamos decifrar os mistérios da significação devemos conhecer a história do pensamento e alguns aspectos da linguagem em funcionamento. A autora cita como exemplo o fato de que em russo há um só temo para significado e significação; este fato específico do funcionamento da linguagem russa deve ser levado em conta se temos o objetivo de captar o sentido do discurso.

Nas relações que acontecem no cotidiano das pessoas e nas práticas sociais, as significações vão se produzindo coletivamente, a partir de múltiplos sentidos já estabilizados. É nesse jogo que as ideologias se produzem, como conjunto de signos e valores. Deste modo, “deixa de ser pertinente (ou perde o sentido) falar em sentido único, literal, verdadeiro. Não há sentido imanente. Os sentidos podem sempre ser vários, mas dadas certas condições de produção, não podem ser quaisquer uns.” (Ibidem, p. 45).

Como Vygotsky, Bakhtin também dá à significação uma relevância especial, analisando as relações dos signos com o psiquismo e a ideologia. De acordo com ele, a atividade psíquica é uma passagem do interior para o exterior mas, para o signo ideológico, o processo é inverso: é o social que se infiltra no organismo do indivíduo para realizar sua natureza semiótica. “Desta maneira, existe entre o psiquismo e a ideologia uma interação dialética indissolúvel.” (BAKHTIN, 2004 p. 65). Este autor valoriza a fala, a enunciação, e destaca sua natureza social; dessa forma, a palavra está sempre carregada de um conteúdo ideológico.

Para nos tornarmos conscientes de uma operação, ela deve ser recriada na imaginação, de uma forma que possa ser expressa, transferida do plano da ação para o plano da linguagem, que pode ser falada, escrita, simbólica, etc. Todas as esferas da atividade humana estão relacionadas com a linguagem, efetuada em forma de enunciados orais e escritos. As palavras constituem a imaginação e vão configurando os conceitos. A forma lingüística é um signo mutável no qual: “a entonação expressiva, a modalidade apreciativa sem a qual não haveria enunciação, o conteúdo ideológico, o relacionamento com uma situação social determinada, afetam a significação.” (BAKHTIN, 2004, p. 15).

Assim ele define relação dialógica como dois tipos de produções verbais, dois enunciados confrontados um com o outro, que entabulam uma relação de sentido:

É uma relação marcada por uma profunda originalidade e que não pode ser resumida a uma relação de ordem lógica, lingüística, psicológica ou mecânica, ou ainda a uma relação de ordem natural. Estamos perante uma relação específica de sentido cujos elementos constitutivos só podem ser enunciados completos (ou considerados completos, ou ainda potencialmente completos) por trás dos quais está (e pelos quais se expressa) um sujeito real ou potencial, o autor do determinado enunciado. (BAKHTIN, 2000, p. 353).

De acordo com este autor só a dialética pode resolver a contradição aparente entre o signo que é, por natureza, vivo e móvel e a unicidade da significação. A palavra, signo ideológico, é capaz de registrar as fases transitórias das mudanças sociais e por esse motivo pode ser considerada como um material privilegiado na comunicação. A significação é, portanto, característica da condição humana, resultante da dinâmica das relações. As relações de sentido entre enunciados distintos são de ordem dialógica ou têm uma matriz dialógica.

Vygotsky (1991, p. 333) faz uma diferenciação entre sentido e significado de uma palavra, que pode nos ajudar a entender também essa diferença nas relações dialógicas: “o sentido da palavra é a soma de todos os sucessos psicológicos evocados em nossa consciência graças à palavra. O significado é só uma dessas zonas do sentido, a mais estável, coerente e precisa.”

Na relação dialógica estabelecida entre pares ou pessoas que perseguem em princípio os mesmos objetivos, a re-significação permite que um significado se modifique, sendo impressos novos sentidos. Dessa forma sentidos e significados mudam e se misturam nas relações discursivas. As buscas de sentido se realizam nas práticas sociais e transformam historicamente as relações do homem consigo mesmo, com o outro e com o conhecimento. Neste caso, para produzir significados na interação discursiva, é necessário que se realize um diálogo entre diferentes vozes, podendo o uso ou não do discurso apropriado para cada contexto explicar o entendimento ou desentendimento. Uma enunciação envolve não apenas a voz que a produz, mas as vozes a que ela se dirige. Por outro lado, a noção de “voz”, segundo Bakhtin (2004) envolve a perspectiva do falante, que está relacionada à sua visão de mundo, ao seu horizonte conceitual, ao seu lugar social. Os elementos significativos de uma enunciação são, então, transferidos nas nossas mentes para um outro contexto, ativo e responsivo:

Qualquer tipo genuíno de compreensão deve ser ‘ativo’ deve conter já o germe de uma resposta. Só a compreensão ativa nos permite apreender o tema, pois a evolução não pode ser apreendida senão com a ajuda de um outro processo evolutivo. Compreender a enunciação de outrem significa orientar-se em relação a ela, encontrar o seu lugar adequado no contexto correspondente. A cada palavra da enunciação que estamos em processo de compreender, fazemos corresponder uma série de palavras nossas, formando uma réplica. Quanto mais numerosas e substanciais forem, mais profunda e real é a nossa compreensão (p. 131).

A compreensão é, portanto, uma forma de diálogo que opõe à palavra do locutor uma contrapalavra. A significação não pertence a uma palavra, mas se realiza no processo de compreensão ativa e responsiva; é o efeito da interação do locutor e do receptor, como uma faísca elétrica que se produz quando há contato entre dois pólos opostos. A compreensão responsiva é a fase inicial e preparatória para uma resposta. O locutor não espera uma compreensão passiva que, de alguma forma, apenas duplicaria seu pensamento no espírito do outro; o que espera é uma resposta, uma concordância ou uma objeção:

Esta atitude do ouvinte está em elaboração constante durante todo o processo de audição e de compreensão desde o início do discurso, às vezes já nas primeiras palavras emitidas pelo locutor. A compreensão de uma fala viva, de um enunciado vivo é sempre acompanhada de uma atitude ‘responsiva ativa’ (conquanto o grau dessa atividade seja muito variável); toda compreensão é prenhe de resposta e, de uma forma ou de outra, forçosamente a produz: o ouvinte torna-se locutor. (BAKHTIN, 2000, p. 290).

O autor conclui que, em cada um dos pontos do diálogo que se desenrola, existe uma multiplicidade ilimitada de sentidos esquecidos que serão, em algum momento, rememorados e renascerão num contexto novo. “Não há nada morto de maneira absoluta. Todo sentido festejará um dia seu renascimento.” (Ibid., p. 414).

De acordo com essa perspectiva o signo vai se produzindo nas relações e nos modos de vida dos homens, e as possibilidades de significação e de sentido se acham ancoradas nas práticas sociais, resultantes de um trabalho coletivo. Nessas relações há sempre a possibilidade para o comum e para o heterogêneo, para a relação social do homem consigo mesmo. “A significação se torna possível e acontece na interação dialética, histórica, entre psiquismo e ideologia.” (SMOLKA, 2004, p. 46).

De acordo com Bakhtin (2000), os enunciados não são indiferentes uns aos outros, mas refletem-se mutuamente, guardam lembranças de outros enunciados individuais e dos outros. Sendo assim, eles são uma resposta ao que já foi dito sobre o mesmo objeto; essas respostas poderão ser reveladas na expressividade. Nosso pensamento nasce e forma-se em interação com o pensamento dos outros. A formação de sentido se realiza nessa relação: “o fato de ser ouvido, por si só, estabelece uma relação dialógica. A palavra quer ser ouvida, compreendida, respondida e quer, por sua vez, responder à resposta, e assim ad infinitum. Ela entra num diálogo em que o ‘sentido’ não tem fim (entretanto ele pode ser fisicamente interrompido por qualquer um dos participantes)” (p. 357).

Nossa pesquisa de campo que fez parte do trabalho de Mestrado intitulado: A Resolução de Problemas: da dimensão técnica a uma dimensão problematizadora, se realizou em reuniões de professores da rede pública municipal de ensino, que tinham como objetivo oferecer aos professores um tipo de formação continuada. Participaram professores de diversas escolas e disciplinas da área, coordenadas por um professor de Matemática. Muitas dessas reuniões tiveram como foco a Resolução de Problemas, devido principalmente ao fato de esta ser uma prática pedagógica sugerida pelos PCN (BRASIL, 1998, 1999). Acreditamos que uma reunião de professores seja um contexto que se presta para a compreensão das significações produzidas pelos participantes pelo fato de que, através dos diálogos, a palavra do outro proporciona possibilidade de reflexão dos temas abordados e oportunidades de debates e trocas de experiências. Mudanças quase imperceptíveis podem ocorrer e mais tarde se transformar em produções acabadas. A palavra reflete, assim, alterações imperceptíveis da existência social e é esse entrecruzamento dos índices de valor que torna o signo capaz de evoluir.

O foco da análise foi a relação dialógica que se estabeleceu nas reuniões de professores cujo tema era a Resolução de Problemas em Matemática. Seu objetivo foi investigar a dinâmica da interlocução e suas condições de produção, de modo a compreender as significações produzidas durante as reuniões e, de maneira geral, significações que vão se produzindo a partir e também além delas. De acordo com Bakhtin (2000, p. 294) a alternância dos sujeitos falantes é observada no diálogo, onde se produzem os enunciados dos interlocutores: “o diálogo, por sua clareza e simplicidade, é a forma clássica da comunicação verbal. Cada réplica, por mais breve e fragmentária que seja, possui um acabamento específico que expressa a ‘posição do locutor’, sendo possível responder, sendo possível tomar, com relação a essa réplica, uma ‘posição responsiva’” (p. 294). Como os enunciados são ligados uns aos outros, a relação específica que une as réplicas do diálogo pressupõem o outro membro da comunicação verbal; a análise desses enunciados deve levar em conta esses diferentes sujeitos falantes. A posição responsiva adotada pelo ouvinte se refere à atitude adotada por ele; o ouvinte que recebe e compreende a significação (lingüística) de um discurso adota simultaneamente, para com esse discurso, uma atitude responsiva ativa: concorda ou discorda (total ou parcialmente), completa, adapta, etc. Essa atitude está em elaboração constante durante todo o processo e a compreensão responsiva é a fase inicial e preparatória para uma resposta.

Partindo de situações em que os professores problematizavam a Resolução de Problemas como prática pedagógica, procuramos compreender as significações produzidas sobre o tema e também as condições de produção dessas significações. Com esse objetivo procuramos selecionar para análise os diálogos que se referiam direta ou indiretamente ao tema ou que podiam trazer indícios que pudessem levar a uma melhor compreensão da produção dessas significações.

Percebemos que o modo de olhar para a problematização como prática de sala de aula tinha o poder de transformar o próprio problema.

Problematizar é questionar, mas é mais do que isso. É aprofundar, questionar o que é hegemônico, desestabilizar o que está estabelecido. É refletir sobre, mas não apenas isso; pressupõe a ação, a quebra dos elementos de significação, e busca formar novos sentidos, mudar a configuração da rede de significações. O ambiente propício para a problematização é o diálogo, a interação, a formação conjunta de significações (COELHO, 2005, p. 80).

A produção de significações que emergiu a partir da problematização dos problemas matemáticos nas reuniões nos levou a perceber a Resolução de Problemas como prática pedagógica em suas várias dimensões: como conteúdo técnico, como aplicação dos conteúdos, como ponto de partida para ensinar Matemática e como gerador de problematizações que extrapolavam o próprio problema. Nesta última perspectiva o material de análise nos permitiu identificar quatro eixos: a problematização de relações com a Matemática escolar, a problematização das relações de ensino da Matemática, a problematização do ensino de maneira geral e a problematização da vida além da Escola. O problema matemático se mostrou como um instrumento capaz de estimular a troca de idéias sobre temas variados e não pertencentes apenas ao universo matemático. Foram incluídas muito mais do que questões que tinham a ver com a Resolução de Problemas. Nas reuniões os professores discutiram, a partir dos problemas matemáticos, também relações de ensino e da vida além da Escola.

Um dos aspectos que foram abordados com maior freqüência e deixaram indícios de preocupação por parte dos professores foi o fato de os alunos terem dificuldades para resolver problemas matemáticos por não entenderem o texto do problema e não “saberem pensar”. Neste caso eles se referiram ao fato de que os alunos, de maneira geral, não se julgam capazes de elaborar hipóteses para resolver situações problemas talvez devido ao fato que as práticas pedagógicas das aulas de Matemática de maneira geral não estimulam essa competência. A capacidade dos alunos para fazerem interpretações e a dos professores para mediarem essas interpretações parece estar na base de um trabalho efetivo nesse sentido. “Resultados matemáticos e dados estatísticos são uma referência constante durante debates na sociedade. Eles fazem parte da estrutura da argumentação. Dessa forma, a matemática é usada para dar suporte ao debate político” (BORBA E SKOVSMOSE, 2001, p. 127).

De acordo com Skovsmose (2001) a educação não deve servir para reproduzir passivamente as relações sociais existentes e as relações de poder, mas desempenhar um papel ativo na identificação e no combate às disparidades sociais. Nesse sentido, ele ressalta a importância do papel desempenhado pela educação no desenvolvimento da competência democrática. Destaca que “democracia refere-se às condições formais relativas a algoritmos de eleição, condições materiais relativas a distribuição, condições éticas relativas à igualdade e, finalmente, condições relativas à possibilidade de participação e reação” ( p. 70).

Tradicionalmente a função da escola é, em grande parte, a de preparar os alunos para a entrada no mercado de trabalho, deixando pouco espaço para o desenvolvimento de aspectos importantes da vida social fora da esfera do trabalho, como os aspectos culturais e políticos.

Assim, o objetivo da educação matemática deveria ser habilitar os alunos a perceber, entender, julgar, utilizar e também aplicar a matemática na sociedade, sobretudo em situações significativas para a vida privada, profissional e social de cada um (NISS, 1983, apud SKOVSMOSE, 2001, p. 88).

A tecnologia, como aspecto dominante da civilização, é totalmente baseada no desenvolvimento da Matemática, sendo que o pensamento matemático é a base para as aplicações da tecnologia da informação. Por outro lado ele ressalta a distinção entre conhecimento matemático e conhecimento tecnológico: O conhecimento matemático se refere às competências em reproduzir raciocínios matemáticos, teoremas, demonstrações e algoritmos, enquanto que o conhecimento tecnológico se refere às habilidades de construção de modelos, ou seja, de aplicar matemática na busca de objetivos tecnológicos. A Matemática, como uma ciência formal, cria modos de descrever e lidar com os problemas, tornando-se, assim, uma fonte para reconstrução da realidade. O foco seria, então, colocado nas funções das aplicações da Matemática na sociedade.

A aplicação de uma linguagem formal para a descrição de fenômenos torna mais fácil “ver” as estruturas formais e, ao fazê-lo, dá-se um primeiro passo para a adaptação da realidade à nossa imagem dela. Uma descrição formal enfatiza alguns aspectos e ignora outros (SKOVSMOSE, 2001, p. 83)

Desta forma o autor ressalta o poder de formatação da Matemática, enfatizando que não apenas “vemos” de acordo com a Matemática, mas também “agimos” de acordo com ela. A formatação enfatiza, portanto, as ações tomadas com o objetivo de enquadrar os fenômenos. Ela se refere às simplificações que são feitas quando um algoritmo é escolhido para representar uma situação determinada, havendo uma mudança de perspectiva ao se passar do que é razoável e justo para o que é possível alcançar com a ferramenta tecnológica. Nem sempre o melhor caminho para a solução de um problema é possível tecnicamente. Por outro lado, de acordo com o autor, o desenvolvimento de um algoritmo matemático “também representa um modo de discutir e de obter universalidade” (p. 122). A escolha de algum método formal para representar a situação estudada faz com que apenas um conjunto limitado de fatores seja tomado em consideração, fixando-se assim uma pequena parte da vida social. A cristalização das informações como dados representam uma perspectiva condensada, diferente da realidade objetiva. A realidade passa a ser reajandada de acordo com a Matemática. Ele destaca, assim duas transições entre linguagens diferentes: da linguagem natural para uma linguagem sistemática e outra de uma linguagem sistemática para uma linguagem algorítmica. De acordo com Skovsmose (2001), por esse motivo, já não é possível sustentar que a verdade da Matemática não possa ser influenciada por interesses sociais e políticos, tornando impossível a crença na ideologia da certeza na Matemática, entendida por ele como aquela que defende a hipótese da existência de uma solução ótima para os problemas da realidade social, representada por uma regra que seja adequada a ela. No entanto, ele defende que “um conceito-chave na avaliação de um modelo matemático é a aproximação” (p. 135). Nesse caso ela, a Matemática, não é sempre relevante e confiável.

As estruturas matemáticas desempenham um papel na vida social tão fundamental quanto ao das estruturas ideológicas. A competência matemática parece constituir assim uma parte central da competência democrática. Se queremos desenvolver uma atitude democrática pela educação matemática, as práticas pedagógicas não podem conter aspectos não democráticos. Skovsmose (2001) ressalta, assim, a necessidade de desenvolvermos nos alunos a competência democrática:

A competência democrática tem de ser desenvolvida; a competência está fielmente relacionada à atitude democrática, mas elas não são idênticas; o desenvolvimento de uma competência democrática pressupõe uma atitude, mas, ao lado disso, muito conhecimento e muita informação sobre o domínio dos processos democráticos têm de ser desenvolvidos ( p. 56).

O autor coloca como fundamental para a aquisição dessas competências o pensamento reflexivo e uma competência crítica geral para lidar com o desenvolvimento social e tecnológico. Destaca a expressão educação crítica, no sentido daquela que reage às contradições sociais. O conhecimento tecnológico, que neste contexto deve ser entendido como o conhecimento necessário para desenvolver e usar a tecnologia, é incapaz, em si, de predizer e analisar os resultados de sua própria produção, sendo necessária a reflexão. O conhecer reflexivo se refere a uma metareflexão, que procura questionar o que foi feito, indagar se os cálculos estão corretos e se haveria outras maneiras de realizá-los, se o algoritmo utilizado é confiável, se poderia ser utilizado em todas as circunstâncias, se é adequado para o objetivo almejado e se seria possível utilizar métodos intuitivos ao invés dos formais. Skovsmose (2001) destaca que, com a indagação de como o uso de um algoritmo (apropriado ou não) afetaria um contexto específico “definitivamente parecemos ter deixado a sala de aula” (ibid. p. 92), e ressalta que o conhecer reflexivo deve ser desenvolvido com o objetivo de conferir à alfabetização matemática uma dimensão crítica. A competência reflexiva é, assim, parte da alfabetização matemática. Destaca o papel crucial que o diálogo e a discussão desempenham em uma epistemologia dialógica, na qual o conhecimento é obtido num contexto social. A interação entre as pessoas numa relação dialógica pode lhes proporcionar um movimento na direção de mais conhecimento. No ensino matemático tradicional, no qual os alunos são “informados” pelo professor, não podemos identificar nenhum aspecto de um diálogo autêntico.

Skovsmose (2001) discute também a alfabetização matemática, que ele define como a “habilidade de calcular e usar técnicas matemáticas e formais” (p. 67), enraizadas em um espírito de crítica que habilite as pessoas a participarem no entendimento e na participação da sociedade. As pessoas devem ser capazes de entender, criticar, avaliar; nesse sentido a alfabetização matemática é um meio para organizar e reorganizar interpretações das instituições sociais, ou seja, a Matemática é usada “como uma ferramenta para organizar uma pequena parte da realidade social” (ibid. p. 104). A Educação tem a ver tanto com o conteúdo quanto com a distribuição de competências adquiridas. As relações professor-alunos são determinantes para o desenvolvimento da auto-estima e da competência crítica desses últimos. As práticas pedagógicas podem gerar estigmas e relações de poder que podem se perpetuar e definir rumos na vida do futuro cidadão.

No que se refere à Resolução de Problemas em sala de aula, podemos inferir que os problemas podem ser instigadores de discussões sobre vários temas, ponto de partida para desenvolver a capacidade dos alunos de entender situações (matemáticas ou não) apresentadas em forma de texto, desenvolver a capacidade de formulação de hipóteses e de argumentação. Por outro lado, de acordo com Fiorentini e Miorim (2001), as práticas pedagógicas não se mostram fáceis de serem mudadas, pois os professores tendem a repetir as práticas conhecidas ou aquelas que vivenciaram como alunos. Comentam as dificuldades encontradas por professores que se propuseram a realizar, em pelo menos uma classe, com seus alunos, uma experiência de inovação curricular no ensino da Matemática:

De fato, sentimentos, tais como receio de encarar limitações, dúvidas e erros; a ansiedade causada pela momentânea perda de referenciais teórico-práticos estabelecidos durante a trajetória profissional anterior; a dúvida com relação à importância e aos resultados de uma proposta inovadora; a sensação de perda de controle sobre uma situação... foram percebidos ou manifestados durante a realização da experiência (p. 36).

A prática pedagógica da Resolução de Problemas em uma dimensão problematizadora requer que o aluno se aventure na resolução dos problemas, sem esperar que o professor forneça modelos ou passos para conduzir o raciocínio. Os trabalhos são realizados em grupos e o professor é o mediador, não o condutor dos trabalhos, o que requer uma aula participativa que foge ao modelo clássico no qual o professor expõe o conteúdo e os alunos recebem essa exposição de forma passiva.

Algumas considerações finais

A dimensão problematizadora da Resolução de Problemas se refere, então, ao problema matemático como gerador de reflexões e discussões que possam preparar o aluno para a vida na sociedade, ou seja, prepará-los para uma cidadania crítica. O problema matemático, em grande parte das vezes,se apresenta em forma de texto, apresentado na língua materna dos estudantes, diferente dos exercícios, que geralmente são apresentados em linguagem matemática formal. Uma aproximação maior entre a língua materna e a Matemática poderia contribuir para desestabilizar a visão absolutista da Matemática, levando os alunos a formular e testar hipóteses, analisar processos e discuti-los, argumentar e verificar os resultados obtidos e sua aplicabilidade. Os procedimentos metacognitivos envolvidos poderiam também ter a função de fazer com que eles compreendessem o seu próprio processo cognitivo ao tomar consciência do que têm em mente quando fizeram seus cálculos, e podendoassim escolher os seus métodos de estudo e de aprendizagem.

Os professores são apenas parte da cadeia que contribui para difundir a ideologia da certeza na Matemática e sua autoridade incontestável. A escola, as instâncias superiores da Educação e os pais contribuem para que a Matemática seja tratada como um monte de regras sem sentido que devem ser transmitidas sem crítica, como um instrumento neutro. Mudanças nas prática da sala de aula se fazem necessárias através da introdução de discussões nas quais seja dada ênfase à relatividade das questões e aos pontos de partida provisórios, e onde os diferentes pontos de vista e a incerteza sejam valorizados.

Como a Matemática não pode, através dos números, dar a palavra final nas decisões, seu ensino não tem colaborado para desenvolver nos alunos competências que possam assegurar-lhe uma participação efetiva na sociedade na vida adulta. Técnicas inovadoras e práticas pedagógicas que envolvem a participação dos alunos, como projetos, não asseguram que essas condições estejam sendo trabalhadas. No caso dos problemas matemáticos, eles muitas vezes são usados para aplicação do conteúdo desenvolvido anteriormente e através de dicas ou modelos para serem seguidos, continuando, assim, a perseguir o modo condutista.

O problema Matemático na sua dimensão problematizadora é uma prática pedagógica capaz de levar o aluno à resignificação e à produção de novos sentidos em relação aos conceitos matemáticos, ao desenvolvimento da capacidade de estabelecer relações entre fatos e idéias e de argumentar sobre elas.

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