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  MUDANÇAS CONCEITUAIS E NOTACIONAIS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Profa. Dra. Geiva Carolina Calsa (Universidade Estadual de Maringá – UEM)

Profa. Dra. Lucila Diehl Fini (Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP)

INTRODUÇÃO

Resultados do SAEB – Sistema de Avaliação da Educação Básica (INEP, 2000) realizado em todo o território nacional - mostram que os alunos da quarta série elementar têm se mantido em um nível de rendimento em matemática abaixo do esperado para o final desta série. O desempenho dos alunos revela domínio na resolução de problemas envolvendo adição e subtração, mas não ainda as operações de multiplicação e divisão. Segundo o Ministério de Educação e Cultura (Galazi, 1997), apenas a metade dos alunos que entram na primeira série do 1º grau chega a concluir o curso. Sessenta e três por cento dos alunos do ensino fundamental têm idade superior à faixa etária correspondente a cada série, e as oito séries do 1º grau são alcançadas em média aos 18 anos de idade mostrando o quanto a defasagem escolar é grave em nosso país.

Segundo Ruiz e Bellini (1997, p.37) as graves dificuldades enfrentadas pelos alunos em matemática sugerem a existência de um fenômeno extremamente nefasto na escola: o analfabetismo matemático. Para os autores, a incapacidade de lidar com noções numéricas básicas é um de seus aspectos mais significativos, e práticas pedagógicas insatisfatórias como “a transmissão verbal de conceitos matemáticos, os exercícios de fixação, a unicidade de caminhos para um determinado procedimento matemático e a rigidez dos currículos escolares” podem ser apontadas como responsáveis pela produção e manutenção destas características perniciosas ao ensino de matemática.

Mendonça e Balieiro Filho (1996) revelam que na atividade de resolução de problemas a mera reprodução de algoritmos tem crescido em proporção direta ao avanço dos alunos no processo de escolarização. No transcorrer deste processo o raciocínio lógico e a criatividade vão sendo paulatinamente abandonados, fazendo-se supor que o ensino esteja voltado apenas “para a transmissão de procedimentos e técnicas para resolver situações matemáticas” (Fini et al., 1994, p.40). Castro (1999) e Silva (1994) lembram que a atividade de resolução de problemas é utilizada pela escola como exercício e treinamento de algoritmos, tanto no ensino fundamental quanto no ensino médio brasileiro. Lima (1999), em um estudo com 6ª, 7ª e 8ª séries do ensino fundamental, constatou a preferência dos alunos por algoritmos convencionais, mesmo que sem uma compreensão adequada de seus invariantes operatórios. Soluções criativas e diferentes dos procedimentos transmitidos pela escola são abandonadas desde as primeiras séries por incentivo da própria instituição.

Steffe (1994) salienta a drástica descontinuidade de tratamento entre o conhecimento matemático informal trazido pelos alunos e o conhecimento formal transmitido pela escola. Para a autora, a instituição manifesta uma grave desconsideração pelo saber dos alunos ao ignorar os algoritmos inventados em favor dos padronizados com uso de papel e lápis. Os algoritmos aprendidos adquirem muitas vezes um caráter meramente instrumental que provoca sérias dificuldades de aprendizagem e impede a elaboração de respostas corretas, embora obtidas por meio de estratégias não convencionais. Dessa maneira, a aprendizagem de matemática deixa de representar elaboração e refinamento de esquemas cognitivos, que por sua operatividade permitiriam resoluções mais criativas que as fornecidas pelos algoritmos convencionais. Segundo Castorina (1996), de uma perspectiva construtivista, a aprendizagem de matemática implica um processo de reconstrução cognitiva que exige da escola o fornecimento de informações e, de outro lado, a elaboração de hipóteses e conceitos por parte dos alunos.

A estrutura semântica dos problemas multiplicativos simples e sua influência sobre o desempenho de alunos do ensino fundamental vêm sendo estudadas por um conjunto de pesquisas (Lautert e Spinillo, 2000; Brito, 2000; Nunes e Bryant, 1997; Kaput e West, 1998; Mulligan, 1992; Vergnaud, 1991; Kouba, 1989) que confirmam a influência da posição da incógnita na resolução deste tipo de problemas. Várias propostas têm como ponto comum a valorização do saber informal dos alunos e sua continuidade por meio do processo de formalização do conhecimento matemático realizado na escola (Baek, 1998; McIntosch, 1998; Zunino, 1995; Vergnaud, 1994), enquanto outros propõem a análise semântica dos problemas ( Leymone e Tremblay, 1986) e a aplicação dos invariantes a novas situações-problema (Vergnaud, 1994). Embora nesses trabalhos a posição da incógnita tenha sido abordada como um elemento determinante do processo de resolução de problemas, sua variação não foi estudada como um fator significativo para a aprendizagem. Em decorrência de sua influência na resolução de problemas multiplicativos, a variação da posição da incógnita foi considerada um objeto de estudo relevante para este projeto de pesquisa. O estudo de sua influência sobre a aprendizagem dos sujeitos em uma situação de intervenção escolar de caráter psicopedagógico foi o objetivo principal do presente estudo.

Inserida em um contexto teórico-metodológico construtivista, esta pesquisa pretendeu desenvolver uma modalidade de intervenção capaz de obter melhorias significativas no desempenho dos alunos na atividade de resolução de problemas. Partiu-se da hipótese de que por meio deste tipo de atividade pedagógica ocorressem modificações nas estratégias de resolução utilizadas pelos sujeitos em um sentido contrário ao uso rotinizado e sem significado dos algoritmos convencionais transmitidos pela escola.

PROCESSO DE FORMAÇÃO DO ESQUEMA MULTIPLICATIVO

As estratégias de resolução de problemas multiplicativos podem ser interpretadas como refinamento do esquema de contagem cuja evolução marca a passagem do contar “um por um” para a contagem de unidades-compostas. Segundo Steffe (1988), o desenvolvimento do esquema multiplicativo envolve três grandes fases da formação de unidades-compostas. A unidade-composta experiencial é a primeira forma de contagem deste tipo de unidade. Ocorre durante a fase de elaboração da seqüência numérica inicial e depende diretamente do contexto empírico. Para a acomodação do procedimento, o sujeito cria imagens mentais das unidades-compostas. A partir destas imagens mentais é estabelecida a seqüência numérica com inclusão tácita na qual a recontagem torna-se independente do contexto experiencial.

É denominada estratégia um-para-muitos quando o numeral passa a simbolizar a quantidade de uma unidade-composta é utilizado como segmento inicial de novas contagens, e as unidades-compostas de uma quantidade são distribuídas nos elementos de outra composição de unidades. De acordo com Nunes e Bryant (1997), esta fase caracteriza um conceito implícito de multiplicação em que é possível a percepção das unidades-compostas como entidades distintas entre si e, ao mesmo tempo, como elementos de um grupo, embora reunido apenas em pensamento. Para Steffe (1988) esta condição é necessária para que o sujeito comece a operar com seqüências numéricas.

Fase posterior do esquema multiplicativo, a seqüência numérica com inclusão explícita apresenta três níveis de desenvolvimento. No primeiro, o sujeito realiza a contagem das unidades-compostas iteráveis sem comprovar de modo tangível a coordenação de unidades das duas seqüências. As unidades-compostas são utilizadas como material de contagem coordenada para a qual o sujeito vale-se da estratégia de adição repetida (por exemplo, em uma contagem de 6 unidades-compostas de 3, conta 3, 6, 9, 12, 15, 18). No segundo nível, o sujeito transforma as unidades-compostas em entidades abstratas que se mantêm iteráveis independentemente de re-contagem experiencial. A unidade-composta abstrata é acompanhada pela construção de uma unidade motora simbólica, em geral os dedos da mão, que registram a coordenação das duas seqüências numéricas.

A unidade-composta abstrata pode ser considerada um elemento reorganizador de todo o processo de contagem e sua construção torna possível a decomposição e recomposição de um todo a partir da combinação de diferentes unidades-compostas (por exemplo, decompor 5 unidades de 4 em: 3 unidades de 4 + 2 unidades de 4). A coordenação parte-todo permite o estabelecimento de um esquema de coordenação de unidades-compostas reversível, capaz de criar unidades-compostas sempre mais abrangentes (com formação indefinida de unidades de unidades) para quantidades indefinidas (Steffe, 1988).

No terceiro nível de construção da seqüência numérica com inclusão explícita, as unidades-compostas iteráveis se tornam independentes das unidades motoras simbólicas. As unidades-compostas se apresentam como recursos disponíveis para operação, mesmo na ausência de material concreto, e se organizam em seqüências numéricas generalizadas. Em uma seqüência de unidades compostas por três elementos “um é sempre três”, “dois é seis”, “três é nove”. A formação de seqüências numéricas é acompanhada pelo surgimento da expressão “vezes”, explicitamente multiplicativa: “duas vezes três é seis” (Steffe, 1988). Esta fase permite a tomada de consciência da concomitância das duas séries numéricas e de sua natureza ordinal. A coordenação de duas seqüências numéricas apresenta conseqüências importantes para a aprendizagem de conceitos e procedimentos multiplicativos como a comutatividade, distributividade, divisão-quotição, divisão-partição, bem como para a elaboração de estratégias de resolução de problemas (Steffe, 1994).

Pesquisas (Steffe, 1994; Lamon, 1994; Kaput e West, 1994) mostram que os conceitos de unidade e de unidades-compostas formam a base da aritmética elementar, incluindo o conceito de número e as quatro operações com números inteiros e racionais. Um estudo comparativo desenvolvido por Lamon (1994) sobre o papel da formação de unidades na construção da adição, multiplicação e proporção, confirmam os estudos de Steffe (1988; 1994). Lamon (1994) destaca o papel da contagem como o primeiro passo da construção dos esquemas de adição-subtração, de multiplicação-divisão e de razão-proporção.

A primeira fase deste processo é denominada contagem e modelagem. Na multiplicação se apresenta como contagem segmentada, isto é, visualização e formação de unidades-compostas por meio da contagem de objetos (quantos três têm em 12: 1,2,3; 4,5,6; 7,8,9; 10,11,12). Na segunda fase, denominada composição, esquemas precoces da multiplicação são formados por meio da repetição de unidades-compostas de uma quantidade, e contagem do número de iterações – adição repetida (1,2,3 -1; 2,3 -2; 1,2,3 -3; 1,2,3 - 4). A terceira fase, denominada abstração, a multiplicação caracteriza-se pela coordenação das duas seqüências numéricas para formação da dupla contagem. Nesta fase, a contagem das unidades-compostas é feita por meio de múltiplos da quantidade de uma unidade-composta (3 é 1; 6 é 2; 9 é 3; 12 é 4). Na última fase, denominada relação, na multiplicação, o todo é pensado como uma composição cujas partes são múltiplos da mesma unidade-composta – propriedade distributiva (8 unidades-compostas de 4 são consideradas equivalentes a 5 unidades-compostas de 4 mais 3 unidades-compostas de 4).

PROCEDIMENTOS DA PESQUISA

Sujeitos

A pesquisa foi desenvolvida com uma amostra de conveniência com alunos de 4ª série do ensino fundamental de escolas públicas de Maringá (PR). Sua localização determinou a condição da clientela, segundo a Secretaria, composta por famílias de classe baixa e média baixa com profissão definida e núcleo familiar estruturado. Organizou-se a amostra da pesquisa tendo como base dois critérios: desempenho em compreensão de leitura e em matemática. O desempenho em compreensão de leitura foi avaliado por meio de uma prova de interpretação de texto adaptada do Exame de Linguagem TIPITI (Braz e Pelliciotti, 1983), e uma de matemática, adaptada da prova escolar para 4ª. séries do ensino fundamental, elaborada pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo (SARESP, 1997).

As duas provas foram aplicadas em sala de aula com o auxílio das professoras das classes. Considerou-se desempenho satisfatório em compreensão de leitura um rendimento igual ou superior a 60% do teste; e desempenho não satisfatório em matemática, rendimento inferior a 60%. Foram testados 436 alunos, total de alunos que freqüentavam as quartas séries das escolas selecionadas. A prova de matemática foi aplicada em primeiro lugar. Do total de alunos que participaram do primeiro teste nem todos resolveram a prova de compreensão de textos por não estarem presentes em suas classes no dia da aplicação.

Os resultados das duas provas foram bastante similares: a maioria situou-se na faixa de notas superior a sessenta. Na prova de compreensão de texto, 52,5% dos sujeitos situaram-se nesta faixa, e na prova de matemática, 52%. Um contingente um pouco menor de alunos situou-se na faixa de notas inferior a sessenta: 47,5% na prova de compreensão de texto e 47,7% na de matemática (Quadro 1). A faixa de maior freqüência na prova de matemática foi a de 6 a 8, 38,5%, enquanto na prova de compreensão de texto foi a de 8 a 10 , 33,2%. A menor freqüência foi obtida na prova de matemática pela faixa de notas situada entre 0 e 2, 6,2%, e na de compreensão de texto pela faixa entre 2 e 4, 10,2%.

Coleta de dados

Os dois grupos experimentais e o grupo controle realizaram um pré-teste e dois pós-testes, enquanto apenas o grupo experimental foi submetido às sessões de intervenção psicopedagógica. Os testes (pré, pós e pós-teste postergado) envolveram uma prova de resolução de problemas multiplicativos. O primeiro pós-teste foi aplicado imediatamente após o desenvolvimento da intervenção psicopedagógica e o segundo, 15 dias após o primeiro.

A prova de problemas foi organizada a partir do controle de algumas variáveis, como a adequação da estrutura multiplicativa dos problemas aos objetivos da pesquisa e à série escolar dos sujeitos da amostra (Vergnaud, 1991; Schwartz, 1988); adequação da temática dos enunciados ao contexto social dos sujeitos (Leymone e Tremblay, 1986; Carraher et al., 1985; Nunes e Bryant, 1997); a quantidade e extensão dos numerais (Vergnaud, 1991); a natureza e a ordem das informações contidas nos enunciados (Leymone e Tremblay, 1986); e a ordem de apresentação da incógnita (Vergnaud, 1991) .

Foram escolhidos oito problemas multiplicativos envolvendo relações quaternárias, sendo dois de cada tipo, conforme a posição da incógnita e a definição da unidade. O primeiro tipo envolveu a operação de multiplicação e foi representado pela sentença: a / c = b / x. Em seu enunciado informou o valor de uma unidade e solicitou o valor de mais de uma unidade. O segundo envolveu a operação de divisão (divisão-partição), solicitou o valor de uma unidade e foi representado pela sentença a / c = x / d. O terceiro, envolveu a operação de divisão (divisão-quotição), solicitou o número de unidades dado o valor unitário e foi representado pela sentença a / x = b / d. Para a representação das relações matemáticas contidas nos enunciados foram utilizados números inteiros e redutíveis, com extensão de dois dígitos.

RESULTADOS

O aumento do número de acertos do grupo experimental foi acompanhado de modificações qualitativas no processo de construção do esquema multiplicativo, incluindo o uso de novas estratégias de resolução e formas de notação. Entre o primeiro e o segundo pós-teste, os dois grupos da amostra apresentaram um comportamento oposto que evidenciou o crescimento superior do GE em relação ao GC. Enquanto o GE apresentou um acréscimo no uso de algoritmos canônicos e não-canônicos, o GC apresentou uma tendência de decréscimo de ambos. O GC apresentou aumento das respostas incorretas e em branco, enquanto o GE manifestou decréscimo destes procedimentos.

Somados os algoritmos canônicos e não-canônicos observou-se que entre o pré-teste e o pós-teste postergado o GE cresceu 17,5% (de 53,6% para 71,1%), enquanto o GC decresceu 5,5% (de 60,8% para 55,3%). Em relação às respostas incorretas e em branco, o GE decresceu 17,4% (de 46,2% para 28,8%), enquanto o GC aumentou em 5,6% (de 39,1% para 44,7%) o uso destes procedimentos. O comportamento do GE indica como maiores beneficiários do processo de intervenção os alunos que apresentaram no pré-teste maior quantidade de respostas incorretas e em branco. Tais resultados são consistentes com os descritos anteriormente sobre os alunos que mais se beneficiaram do processo de intervenção realizado com o grupo.

Durante o pré-teste o GE e o GC (Quadro 1) apresentaram resultados similares. Alto índice de utilização de algoritmos com solução incorreta 32,5% (88) no GE, e 36,9% (133) no GC; 13,7% (37) de respostas em branco no GE e 2,2% (8) no GC. Um percentual equivalente de uso de algoritmos canônicos, 50,3% (136) no GE e 57,2% (206) no GC; e de algoritmos não-canônicos, 3,3% (9) no GE e 3,6% (13) no GC.

Quadro 1: Estratégias de resolução dos problemas multiplicativos – GC e GE

 
Pré
Pós1
Pós 2
ñ-can. can. inc. bran. Ñ-can. can. inc. bran. Ñ-can. can. inc. bran.
GE 3,3% 50,3% 32,5% 13,7% 8,1% 61,5% 18,9% 11,5% 7,4% 63,7% 25,5% 3,3%
GC 3,6% 57,2% 36,9% 2,2% 3,6% 59,2% 37,2% 0% 2,8% 52,5% 44,7% 0%


Foram considerados procedimentos com solução incorreta quaisquer estratégias que mesmo utilizando os numerais do enunciado não se mostraram compatíveis com as relações matemáticas do problema ou com sua resposta final. A freqüência elevada deste procedimento nos dois grupos sugere que boa parte da amostra, mais ou menos um terço dos alunos, resolveu os problemas do pré-teste sem uma compreensão adequada dos invariantes matemáticos presentes nos procedimentos e nos enunciados. Por não terem disponíveis os recursos cognitivos necessários, ou tendo-os, mas não podendo mobilizá-los com pertinência, estes alunos não foram capazes de lançar mão dos algoritmos aprendidos na escola, resgatar ou inventar procedimentos intuitivos adequados à estrutura matemática dos problemas (Perrenoud, 1999; Coll, 1999).

Os algoritmos canônicos caracterizaram-se pelo uso de operador escalar ou funcional, homomórfos à estrutura matemática dos problemas (Vergnaud, 1988 e Nunes e Bryant, 1997). A utilização de algoritmos canônicos nem sempre, contudo, constituiu-se em acerto dos problemas por parte dos alunos, pois os resultados das operações apresentaram-se muitas vezes incorretos. A freqüência dos algoritmos canônicos dos dois grupos mostra que metade ou mais de seus integrantes resolveu os problemas com uma compreensão adequada de suas relações matemáticas.

Os algoritmos não-canônicos caracterizaram-se pelo uso de procedimentos de resolução compatíveis com os invariantes do problema e com a resposta do sujeito, diferentes, entretanto, dos operadores escalar e funcional. Foram considerados algoritmos não-canônicos os desenhos, combinados ou não com numerais, adição repetida, duplicação do multiplicando, subtração repetida, multiplicação (nos problemas de tipo divisão) e divisão (nos problemas de multiplicação).

É interessante observar que nos dois grupos, para os alunos que responderam incorretamente os problemas e os que deixaram de respondê-los, as estratégias não-canônicas não se mostraram um recurso disponível. Nos dois casos, os alunos não possuíam ou não foram capazes de ativar os recursos intelectuais pertinentes (conceituais, de procedimentos e condicionais) aos problemas (Perrenoud, 1999).

No primeiro pós-teste os resultados da amostra começaram a diferenciar-se. O GE (Quadro 1) apresentou um crescimento bastante superior ao GC, com forte aumento da freqüência de algoritmos canônicos ou não-canônicos. Somando-se os dois tipos de algoritmos, verifica-se que GE cresceu 16% (de 53,6% para 69,6%) entre o pré e o pós-teste 1, enquanto o GC cresceu apenas 3,4% (de 60,8% para 64,2%). A freqüência dos algoritmos canônicos aumentou fortemente passando de 50,3% (136) para 61,5% (166), enquanto os não-canônicos aumentaram mais que o dobro, de 3,3% (9) para 8,1% (22).

O aumento de algoritmos não-canônicos acompanhou uma diminuição importante da freqüência de procedimentos com solução incorreta, de 32,5% (88) para 18,9% (51); e de respostas em branco, de 13,7% (37) para 11,5%(31). Neste primeiro pós-teste, o efeito positivo da intervenção psicopedagógica sobre a aprendizagem do GE manifestou-se na qualidade de seus procedimentos de resolução: algoritmos canônicos aprendidos anteriormente foram re-conceitualizados e algoritmos intuitivos foram resgatados ou inventados pelos alunos. Com o uso destes algoritmos as respostas aos problemas passaram a ser corretas.

No GE o aumento da freqüência dos algoritmos não-canônicos e canônicos, acompanhado do aumento do número de acertos, sugere que a intervenção psicopedagógica realizada com o grupo resultou na compreensão das relações matemáticas contidas nos enunciados e nos procedimentos de resolução dos problemas. Mudanças cognitivas decorrentes da intervenção podem explicar o enriquecimento dos recursos conceituais e de procedimentos dos sujeitos. Os resultados dos pós-testes mostram a estabilidade destes esquemas e sua disponibilidade como recursos mobilizáveis em novas situações. A tomada de consciência promovida pela intervenção psicopedagógica permitiu a formação de esquemas de mobilização, pertinentes à resolução de problemas de tipo multiplicativo (Perrenoud, 1999; Vergnaud, 1994).

No segundo pós-teste a superioridade do desempenho do GE em relação ao GC tornou-se mais acentuada. Somando-se a freqüência dos algoritmos canônicos e não-canônicos verifica-se que o GE continuou crescendo 1,5% (69,6% no pós 1 e 71,1% no pós 2), enquanto o GC teve um decréscimo razoável de 8,9% (64,2% no pós 1 e 55,3% no pós 2). No GE (Quadro 1) os algoritmos canônicos aumentaram ainda mais sua freqüência passando de 61,5% (166) no pós 1 para 63,7% (172) no pós-teste 2; os não-canônicos apresentaram uma ligeira queda de freqüência no segundo pós-teste passando de 8,1% (22) no pós-teste 1 para 7,4% (20) no pós-teste 2, embora ainda assim mais que o dobro do pré-teste, 3,3% (9). As respostas com solução incorreta aumentaram a freqüência passando de 18,9% (51) no pós 1 para 25,5% (69) no pós-teste 2; e as respostas em branco diminuíram a freqüência passando de 11,9% (31) para 3,3% (9).

O progresso do GE no segundo pós-teste (aumento no uso de algoritmos canônicos, manutenção de um bom número de algoritmos não-canônicos e diminuição de respostas em branco) sugere, de um lado, a estabilidade de ganhos obtidos pelo grupo no primeiro pós-teste e, de outro, a continuidade das mudanças cognitivas dos alunos após o término do experimento. São fortes os indícios de que uma parte significativa da aprendizagem realizada durante o processo de intervenção psicopedagógica tenha se integrado em seu sistema cognitivo, tornando-se uma ferramenta disponível à assimilação de novas situações-problema. Comprova tal afirmação, a correção das respostas com algoritmos ensinados ou inventados que foram elaborados no primeiro pós-teste e se mantiveram no segundo.

O desenvolvimento das estratégias de resolução dos problemas multiplicativos pode ser interpretado como uma construção de competência, empreendida pela intervenção psicopedagógica realizada com o GE (Perrenoud, 1999). A queda do desempenho do GC no pós-teste postergado, em oposição à continuidade do progresso do GE, sugere que, para o primeiro grupo, os problemas constituíram-se em um mero exercício a ser resolvido pela terceira vez, enquanto para o segundo consistiram, pelo contrário, em mais uma oportunidade de aperfeiçoar seus esquemas de resolução dos problemas multiplicativos. Os movimentos cognitivos gerados pelo processo de intervenção psicopedagógica possibilitaram ao GE beneficiar-se da execução do segundo pós-teste, no sentido de um maior desenvolvimento do esquema multiplicativo.

Os dados sugerem que, neste estudo, confirmando resultados anteriores (Whitin e Whitin, 1998), o resgate do conhecimento intuitivo dos alunos por meio de invenção e registro espontâneo de algoritmos funcionou como uma ponte eficiente para o uso de algoritmos canônicos. Ensinados pela escola e utilizados até então de forma mecânica e rotinizada, após a intervenção tais algoritmos passaram a ser utilizados com compreensão de seus invariantes operatórios. Os algoritmos canônicos, ao serem resgatados e utilizados nos procedimentos de resolução do GE, foram reconceitualizados (Case e Sandieson, 1988).

Evolução das estratégias de resolução com uso de desenho

Durante o processo de intervenção, estratégias de lápis e papel foram desenvolvidas em três modalidades: desenhos, relatos e algoritmos. Sua análise mostra uma modificação gradativa não somente das estratégias de resolução como também de suas formas de notação. Acompanhadas pelo aumento do número de acertos, tais modificações foram estimuladas pela análise semântica dos problemas. Resultados similares foram obtidos por Leymone e Tremblay (1986) em um experimento com quintetos de faixa etária equivalente ao da pesquisa. Segundo os autores, a análise semântica dos problemas desenvolvida em grupo permitiu o resgate dos algoritmos e notações intuitivas dos alunos e sua vinculação ao saber formal ensinado pela escola. Como destacam Nescher (1988) e Vergnaud (1988), a análise semântica dos problemas é capaz de penetrar o conhecimento predominantemente sintático aprendido na escola e diminuir a força dos símbolos e regras rotinizadas para dar lugar a processos de resolução conceitualmente significativos para os sujeitos.

Pesquisas (Lautert e Spinillo, 2000; Baek, 1998) mostram o desenho como uma das estratégias iniciais do desenvolvimento do esquema multiplicativo. Os desenhos substituíram, já nas primeiras sessões de intervenção, os algoritmos convencionais ensinados pela escola e se desenvolveram progressivamente passando de sua forma mais primitiva, pictórica, até a representação icônica e simbólica.

No grupo experimental, o resgate de formas primitivas de notação durante o processo de intervenção foi acompanhado do processo de formação e contagem de unidades do esquema multiplicativo, conforme descrito por Lamon (1994) e Steffe (1994). Foram encontradas as estratégias de formação e contagem de unidades segmentadas, de formação e contagem de unidades replicadas e contagem simultânea de duas seqüências numéricas, mais primitivas que as aprendidas na escola, e correspondentes à fase inicial do processo de construção do esquema multiplicativo. Segundo as autoras, estas estratégias são encontradas com maior freqüência entre alunos das duas primeiras séries elementares que não receberam instrução formal sobre o conteúdo de multiplicação.

O desenho de Lor., 10 anos e 9 meses (Figura 1), exemplifica a estratégia de formação e contagem de unidades segmentadas. Nesta estratégia, o todo é segmentado em partes que representam as unidades de unidades do esquema multiplicativo (Steffe, 1994). O procedimento foi utilizado na resolução do problema das barbinhas de papai-noel (problema de divisão-partição com operação 56:8). Lor. risca as barbinhas de papai-noel para marcar sua retirada do todo (dividendo) e sua distribuição um-a-um nas unidades-compostas (divisor).

Vin, 11 anos, mostra em seu desenho (Figura 2) uma estratégia de resolução mais avançada que a anterior. Na resolução de um problema de armas e tiros (multiplicação com operação 5x 6) utiliza a estratégia de composição de unidades. Esta estratégia se caracteriza pela replicação e contagem de unidades-compostas. Vin. desenha as armas (unidades-compostas) e indica com numerais a quantidade de unidades de cada unidade-composta.

O desenho de Ane, 10 anos e 9 meses, apresenta uma estratégia de contagem simultânea de duas seqüências de unidades-compostas (Lamon, 1994). Representada com materiais de contagem, esta estratégia é denominada por Kouba (1989) de dupla contagem, enquanto as duas anteriores correspondem à estratégia de representação direta. A estratégia foi utilizada para resolver o problema das caixas de barbinhas (multiplicação com operação 7x8). A contagem simultânea das duas seqüências de unidades é explicitada em seu desenho (7 barbinhas de papai-noel para cada caixa) e na série de numerais registrados logo abaixo de sua representação icônica (Figura 3).

A importância destas estratégias para o desenvolvimento do pensamento multiplicativo é confirmada pelo desempenho estatisticamente superior do GE em relação ao GC na resolução deste tipo de problemas. Ao final do experimento o GE que foi estimulado a produzir este tipo de estratégias apresentou melhores resultados nos testes que o GC que não teve esta experiência. Estudos (Whitin e Whitin, 1998; Baek, 1998) têm mostrado que alunos que receberam instrução formal sobre multiplicação e apresentam rendimento insatisfatório neste conteúdo, melhoram seu desempenho ao ter acesso a um processo de ensino que promova a construção desses conceitos. Seu sucesso depende do resgate dos conceitos em níveis mais primitivos do que os ensinados na escola, e sua reconstrução em nível mais avançado do que aquele dominado anteriormente pelo sujeito. Segundo Wearne e Hiebert (1988) e Case e Sandieson (1988), abordagens didático-pedagógicas que promovem a atividade construtiva dos alunos a partir de seu conhecimento intuitivo facilitam este processo. É a conjugação da experiência cotidiana dos sujeitos e dos aspectos figurativos de seu conhecimento e linguagem informal que, segundo Kieren (1988), permitem seu acesso ao nível técnico-simbólico do saber matemático ensinado pela escola.

Pesquisas (Kaput e West, 1998; Steffe, 1994; Lamon, 1994) mostram que as etapas de desenvolvimento deste esquema acontecem da mesma maneira em todos os sujeitos, embora em ritmo e em momentos diferentes. Assim, é de se supor que o avanço rápido das estratégias de resolução intuitivas por parte do GE está relacionado à sua vinculação com os algoritmos convencionais. Neste grupo, o aumento no uso de algoritmos canônicos e não-canônicos (com resultados corretos) parecem indicar o sucesso do processo de reconceitualização destes algoritmos.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Segundo a hipótese do estudo, alunos com rendimento insatisfatório em matemática, submetidos à intervenção psicopedagógica com abordagem construtivista e solução de problemas multiplicativos, poderiam melhorar seu desempenho nos testes de problemas e em provas piagetianas clássicas. Para verificação desta hipótese investigaram-se as relações entre a variação da posição da incógnita abordada na intervenção e a melhoria do desempenho dos alunos nos testes de problemas. A comparação dos resultados dos grupos da amostra mostrou crescimento (nível de significância 0,5) significativo no desempenho dos alunos do grupo experimental em relação aos do grupo controle.

A importância da intervenção psicopedagógica como fator de melhoria da aprendizagem foi confirmada pela identificação dos alunos que mais se beneficiaram de sua realização. Os dados mostram que os alunos que obtiveram maior crescimento de seu desempenho foram os que iniciaram o experimento com pior rendimento (notas menores que quatro) e maior quantidade de respostas incorretas ou em branco. No decorrer dos três testes o aumento do número de acertos e a substituição das respostas incorretas e em branco por algoritmos canônicos e não-canônicos foi claramente superior nos grupos experimentais, entre o pré e o segundo pós-teste apresentaram um crescimento de 17,5 %, bem superior ao grupo controle, no qual decresceram 5,5 %. As modificações nos procedimentos de resolução dos problemas e em suas formas de notação sugerem a ocorrência de re-conceitualização dos algoritmos canônicos aprendidos na escola e o resgate dos algoritmos intuitivos abandonados anteriormente pelos alunos.

Durante a intervenção, as modificações ocorridas nos procedimentos de resolução e nas notações dos grupos experimentais reproduziram as fases de formação do esquema multiplicativo descritos na literatura (Steffe, 1994; Lamon, 1994; Mulligan, 1992; Kouba, 1989). A re-elaboração das diferentes etapas de desenvolvimento dos conceitos e procedimentos multiplicativos parece ter sido facilitada pelas características da intervenção psicopedagógica. As estratégias de contagem utilizadas neste processo parecem ter facilitado a vinculação entre os dados numéricos dos problemas e seus referentes por meio do confronto entre procedimentos de resolução e dados dos enunciados. Para alguns alunos tal confronto foi suficiente para modificar sua estratégia de resolução e desencadear um processo de tomada de consciência de suas ações. Para estes alunos a intervenção constituiu-se uma oportunidade de superação de métodos anteriores que os levavam a solução incorreta. Neste caso, a compreensão de sua estrutura matemática substituiu a busca de pistas dos enunciados que facilitassem a escolha de uma operação aritmética. Segundo alguns estudos (Ruiz e Bellini, 2001; Baek, 1998; Kamii e Dominick, 1998; Nunes e Bryant, 1997) esta conduta evidencia a superação de um sério obstáculo de aprendizagem provocado pelo ensino precoce de algoritmos formais que estimula seu uso sem uma compreensão adequada dos invariantes operatórios dos problemas.

Os desenhos substituíram os algoritmos convencionais ensinados pela escola nas primeiras sessões de intervenção, e se desenvolveram progressivamente passando de sua forma mais primitiva, pictórica, até a representação icônica e simbólica. O processo de formação das unidades-compostas, presente nas estratégias de contagem, foi reproduzido nas estratégias de resolução com uso de desenho. Foram encontradas as estratégias de formação e contagem de unidades segmentadas, de formação e contagem de unidades replicadas e contagem simultânea de duas seqüências numéricas. Segundo Lamon (1994) e Steffe (1994), estas estratégias correspondem à fase inicial do processo de construção do esquema multiplicativo, e são encontradas com freqüência entre alunos das duas primeiras séries elementares que não receberam instrução formal sobre o conteúdo. O progresso do desempenho dos grupos experimentais nos testes de problemas atesta a importância da retomada de estratégias primitivas para a aprendizagem dos conceitos e procedimentos multiplicativos.

REFERÊNCIAS

BAEK, J. Children’s invented algorithms for multidigit multiplication problems. In: MORROW, L.; KENNEY, M. (Eds.). The teaching and learning of algorithms in school mathematics. USA: National Council of Teachers of Mathematics, p.151-160, 1998.

BRAZ, H.; PELLICIOTTI, T. Exame de Linguagem TIPITI. São Paulo: MNJ, 1983.

BRITO, M. Diferenças de desempenho, em alunos de 5ª série, na solução de problemas verbais com estória e em exercícios de divisão. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE PSICOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO, 3., 2000, Niterói. Comunicação oral.... Niterói: UFF, 13-15 jul. 2000.

CARRAHER, T.; CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. Mathematics in the streets and in schools. British Journal of Development Psychology, v.3, p.21-29, 1985.

CASE, R.; SANDIESON, R. A developmental approach to the identification and teaching of central conceptual structures in mathematical and sciense in the middle grade. In: HIEBERT, J.; BEHR, M. (Eds.). Number concepts and operations in the middle grades. Virginia: Lawrence Erlbaum Associates, p.236-259, 1988.

CASTORINA, J. O debate Piaget-Vygotsky: a busca de um critério para sua avaliação. In: CASTORINA, J.; LERNER, D.; FERREIRO, E.; OLIVEIRA, M. (Orgs.). Piaget-Vygotsky: novas contribuições para o debate. São Paulo: Ática, p.7-50, 1996.

CASTRO, M. Educação matemática: dos fracassos a busca da superação através do que aprendi com minhas práticas pedagógicas. 1999. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – UNIJUÍ, Ijuí.

COLL, C. Os professores e a concepção construtivista. In: COLL, C. et al. O construtivismo na sala de aula. São Paulo: Ática, 1999.

FINI, L.; OLIVEIRA G.; SISTO F.; SOUZA M.; BRENELLI R. Avaliação escrita de matemática: em busca de explicação. Zetetiké, Campinas, v.4, n.6, p.25-43, 1994.

GALAZI, J. Cresce nível de escolaridade no País. O Estado de São Paulo, São Paulo, Caderno A, p.14, 6 ago. 1997.

HART, K. Ratio and proportion. In: HIEBERT, J.; BEHR, M. (Eds.). Number concepts and operations in the middle grades. Virginia: Lawrence Erlbaum Associates, p.198-219, 1988.

INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS. Informe de resultados comparativos do SAEB 1995, 1997 e 1999. Brasília, DF: Ministério da Educação, 2000.

KAMII, C.; DOMINICK, A. The harmful effects of algorithms in grades 1-4. In: MORROW, L.; KENNEY, M. (Eds.). The teaching and learning of algorithms in school mathematics. USA: National Council of Teachers of Mathematics, p.130-140, 1998.

KAPUT, J.; WEST, M. M. Missing-value proportional reasoning problems: factors affecting informal reasoning patterns. In: HAREL, G.; CONFREY, J. (Eds.). The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. New York: State University of New York Press, p.235-297, 1994.

KIEREN, T. Personal knowledge of rational number sequences and multiplying schemes. In: HIEBERT, J.; BEHR, M. (Eds.). Number concepts and operations in the middle grades. Virginia: Lawrence Erlbaum Associates, p.161-181, 1988.

KOUBA, V. Children’s solution strategies for equivalent set multiplication and division word problems. Journal for Research in Mathematics Education, v.20, p.147-158, 1989.

LAMON, S. Ratio and proportion: cognitive foundations in unitizing and norming In: HAREL, G.; CONFREY, J. (Eds.). The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. New York: State University of New York Press, p.89-122, 1994.

LAUTERT, S.; SPINILLO, A. Representação gráfica da divisão: contas vs. problemas. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE PSICOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO, 3., 2000, Niterói. Comunicação oral.... Niterói: UFF, 13-15 jul. 2000.

LEYMONE, G.; TREMBLAY, C. Addition and multiplication: problem solving and interpretation of relevant data. Educational Studies in Mathematics, Boston, v.17, n.2, p.97-123, 1986.

LIMA, V. Solução de problemas e criatividade. In: ENCONTRO NACIONAL DE PROFESSORES DO PROEPRE, 1999, Águas de Lindóia. Anais.... Águas de Lindóia, p.160-179, 21-26 nov. 1999.

McINTOSH, A. Teaching mental algorithms constructively. In: MORROW, L.; KENNEY, M. (Eds.). The teaching and learning of algorithms in school mathematics. USA: National Council of Teachers of Mathematics, p.44-55, 1998.

MENDONÇA, M.; BALIEIRO FILHO, I. O aumento da escolaridade modifica procedimentos na resolução de problemas. In: ENCONTRO PARANAENSE DE DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM, 1., 1996, Londrina. Comunicação oral.... Londrina, 24-26 out. 1996.

MULLIGAN, J. Children’s solutions to multiplication and division word problems: a longitudinal study. Mathematics Education Research Journal, Auckland, v.4, n.1, p.24-41, 1992.

NESCHER, P. Multiplicative shool word problems: theoretical approaches and empirical findings. In: HIEBERT, J.; BEHR, M. (Eds.). Number concepts and operations in the middle grades. Virginia: Lawrence Erlbaum Associates, p.19-40, 1988.

NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.

PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Porto Alegre: Artes Médicas, 1999.

RUIZ, A. R.; BELLINI, L. M. Matemática: epistemologia genética e escola. Londrina: Ed. UEL, 2001.

SCHWARTZ, J. The role of semantic understanding in solving multiplication and division word problems. Final report. Washington: ERIC Document Reproduction Service, 1981.

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO. Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – matemática 4ª série. São Paulo: Governo do Estado de São Paulo, 1997.

SILVA, M. Ensino-aprendizagem de matemática: um estudo exploratório com professores de terceira série do primeiro grau. 1994. 189p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – PUCCamp, Campinas.

STEFFE, L. Children’s construction of number sequences and multiplying schemes. In: HIEBERT, J.; BEHR, M. (Eds.). Number concepts and operations in the middle grades. Virginia: Lawrence Erlbaum Associates, p.119-140, 1988.

STEFFE, L. Children’s multiplying schemes. In: HAREL, G.; CONFREY, J. (Eds.). The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. New York: State University of New York Press, p.3-39, 1994.

VERGNAUD, G. El niño, las matemáticas y la realidad. México: Trillas, 1991.

VERGNAUD, G. Multiplicative conceptual field: what and why? In: HAREL, G.; CONFREY, J. (Eds.). The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. New York: State University of New York Press, p.389-397, 1994.

WEARNE, D.; HIEBRT, J. Constructing and using meaning for mathematical symbols: the case of decimal fractions. In: HIEBERT, J.; BEHR, M. (Eds.). Number concepts and operations in the middle grades. Virginia: Lawrence Erlbaum Associates, p.220-235, 1988.

WHITIN, D.; WHITIN, P. The write way to mathematical understanding. In: MORROW, L.; KENNEY, M. (Eds.). The teaching and learning of algorithms in school mathematics. USA: National Council of Teachers of Mathematics, p.161-169, 1998.

ZUNINO, D. L. A matamética na escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.

 
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