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OS MODOS DE REPRESENTAÇÕES MATEMÁTICAS NO PROCESSO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS VIA JOGOS COMPUTACIONAIS

Rosana Maria Mendes - Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação - USF
Regina Célia Grando (orientadora)

1. Introdução

A Educação Matemática tem construído a sua identidade, buscando verificar quais são as características que permitem o seu estabelecimento e reconhecimento como área de conhecimento. Tem como objetivo maior “investigar problemas ou responder indagações relativas ao ensino e aprendizagem da matemática, bem como, à formação de professores, ao contexto escolar, cultural e sócio-político em que ocorre a prática pedagógica” (FIORENTINI, 1994, p. 7).
É uma área que pretende ser reconhecida como um campo profissional que se preocupa com a aplicação do conhecimento matemático e como campo acadêmico ou científico que discute as pesquisas que estão sendo realizadas. Estes campos devem estar interconectados, interligados, com o objetivo de aproximar a pesquisa da prática, o matemático do educador matemático, além do que, o campo profissional não pode se desenvolver sem o campo acadêmico e vice-versa (KILPATRICK, 1996).
Um esforço coletivo de vários países têm buscado delinear qual é o escopo de investigação em Educação Matemática, uma delas é a Agenda Latino-Americana de Investigação em Educação Matemática que define o campo de investigação em Educação Matemática “como uma búsqueda disciplinada de información para responder interrogantes que nos inquietan em relación com los processos de Ensenanza e Aprendizaje de la Matemática, concebidos estos últimos como situaciones sociales que comprometen el protagonismo de profesores y alunnos, tomando em cuenta los contextos sociales, culturales e históricos em donde ellos se sitúan”. (Gonzáles, 2000, p. 114)
Nesta perspectiva, existem algumas tendências presentes no campo de investigação em Educação Matemática e neste artigo fixaremos nosso olhar para as linhas de Linguagem e Educação Matemática e o Uso das Tecnologias na Educação Matemática.
Linguagem é um sistema de signos que serve como meio de comunicação entre indivíduos. Gómez-Granell (2002) afirma que apesar do conhecimento matemático ser valorizado na sociedade tecnológica continua sendo inacessível para a maioria das pessoas. A natureza do conhecimento matemático é abstrata, definida por dedução e dependente de uma linguagem específica de caráter formal, “envolve a ‘tradução’ da linguagem natural para uma linguagem universal formalizada, permitindo a abstração do essencial das relações matemáticas envolvidas” (Gómez-Granell, 2002, p. 260).
A matemática trabalha com símbolos e estes possuem “significado formal, que obedece a regras internas do próprio sistema e se caracteriza pela sua autonomia do real, pois a validade das suas declarações não está determinada pelo exterior (contrastação empírica)” e também referencial que “permite associar os símbolos matemáticos às situações reais e torna-os úteis para, entre outras coisas, resolver problemas” (Gómez-Granell, 2002, p. 264).
Lerma (1990) afirma que a linguagem é a base de comunicação humana, que emprega “signos lingüísticos” e que a linguagem matemática dispõe de uma quantidade crescente de signos específicos da Matemática à medida que cresce a cultura nesta área.
As linguagens são criações sociais e os signos usados também. A linguagem matemática usa signos que também são criações sociais. Sendo assim, é possível dizer então que o domínio do saber matemático depende da interpretação da linguagem específica utilizada na matemática.
A matemática pode ser entendida como uma linguagem que deve ter significado se se pretende que os alunos comuniquem e apliquem matemática com eficácia. A comunicação desempenha um papel importante na construção de elos de ligação entre as noções informais e intuitivas das crianças e a linguagem abstrata e simbólica matemática; desempenha também um papel-chave na construção de relações entre as representações físicas, pictóricas, gráficas, simbólicas, verbais e mentais das idéias matemáticas. (NCTM, 1994, p. 33)
Com o advento da informática a relação que o homem tem com o mundo está mudando, interferindo na sua vida e afetando sua maneira de pensar, sentir e agir e se comunicar. Segundo Lévy (1993) a técnica é um dos fatores que mais contribuem para esta transformação, sendo intrínseco o seu caráter social, histórico e cultural. Para ele, as técnicas, dentre elas, a informática, são suportes de tecnologias da inteligência, pois prolonga, amplia e transforma a inteligência humana. Todas as coisas que usamos em nossa comunicação, na elaboração do pensamento, do conhecimento, conscientes ou não conscientes, também as emoções, sentimentos, dão suporte a inteligência. Estes suportes podem ser as linguagens, os signos, os símbolos, os recursos lógicos, enfim, todos os instrumentos criados pela cultura, pelo coletivo. O uso da tecnologia na educação é um instrumento criado por uma cultura que pode auxiliar o aluno na compreensão e comunicação das idéias matemáticas.
A partir deste cenário a presente pesquisa, que se encontra em andamento, busca investigar “quais são os modos de representações matemáticas das estratégias que os sujeitos utilizam no processo de resolução de problemas gerados pela estrutura, ação e intervenção pedagógica com o jogo computacional” e tem como objetivo analisar as características do jogo computacional e do desafio intrínseco a ele que possibilitam ao sujeito produzir diferentes representações matemáticas, verificando as potencialidades que os jogos computacionais apontam à apropriação dos conceitos matemáticos e produção de significados para os objetos matemáticos.
A pesquisa é um estudo de caso com enfoque qualitativo tendo como sujeitos três duplas de adolescentes (meninos, meninas e uma dupla mista) com idades entre 14/15 anos. Dentre os critérios para a seleção dos sujeitos, destacam-se: os sujeitos são familiarizados com informática, e já possuíam, antes da pesquisa, familiaridade com jogos computacionais e que apresentam facilidade ao lidar com conceitos matemáticos. A justificativa para tal escolha está relacionada com os objetivos da pesquisa. Os jovens desta faixa etária se encontram na 8ª série do Ensino Fundamental e primeiro do Ensino Médio e pressupõe-se que já tenham estudado e que dominam alguns conceitos matemáticos (como, por exemplo: análise e interpretação de gráficos, reconhecimento de unidades, noção de espaço, tempo, movimento, estimativas, geometria), muitos deles presentes na estrutura e ação do jogo escolhido (Sim City).
Foi realizado, inicialmente, um estudo piloto com duas adolescentes com idade de 12 anos com o intuito de auxiliar a pesquisadora na delimitação do espaço e tempo utilizado nas intervenções, observações de quais instrumentos seriam necessários durante as sessões, como deveriam ser utilizados e testar sua validade e relevância para a pesquisa. Lüdke e André (1986, p. 22) apontam que como em uma pesquisa qualitativa se pretende compreender quais os aspectos que envolvem uma determinada situação, a fase exploratória, ou seja, um estudo piloto, se coloca como fundamental para uma definição mais precisa do objeto de estudo. É neste momento que podemos especificar quais as questões ou pontos críticos que podem surgir na pesquisa.
Neste artigo estaremos focando as representações matemáticas produzidas pelos sujeitos, durante o estudo-piloto, no momento da ação e intervenção pedagógica com o jogo e no momento da produção do registro escrito sobre as estratégias de jogo.

2. As tecnologias informáticas na Educação Matemática

A introdução da informática na Educação sucedeu usando duas abordagens: instrucionista e construcionista. Segundo Valente (1993), inicialmente os computadores eram utilizados na Educação praticamente para armazenar informação em uma determinada seqüência para depois ser transmitida ao aluno ou para enriquecer ambientes de aprendizagem e auxiliar o aluno no processo de construção do seu conhecimento. Papert (1994) aponta que quando o computador era usado atrelado à abordagem tradicional de ensino, sendo esta relacionada com a transmissão de informação, instrução do aluno, ou seja, como máquina de ensinar para aperfeiçoar a instrução, a abordagem pedagógica era o instrucionismo.
O ensino assistido ou auxiliado por computador parte do pressuposto de que a informação é a unidade fundamental no ensino e, portanto, preocupa-se com os processos de como adquirir, armazenar, representar e, principalmente, transmitir informação. Nesse sentido, o computador é visto como uma ferramenta poderosa de armazenamento, representação e transmissão da informação. (BARANAUSKAS et al, 1999, p. 47)
Nesta perspectiva surgiram os softwares chamados de Computer Assisted Instruction (CAI), a chamada instrução programada ou exercício e prática; Intelligent Computer Assisted Leraning (ICAI), uma versão melhorada dos sistemas anteriores utilizando técnicas e métodos da Inteligência Artificial (IA) para representar o conhecimento e para conduzir a interação com o estudante; Intelligent Tutoring Systems (ITS) ou Tutores Inteligentes (TI) que têm como principal objetivo instruir o aluno individualmente, como se fosse um tutor do mesmo e pode apresentar algumas características, tais como: animação, som, controle das lições. Miskulin (1999) aponta que uma vantagem deste sistema seria a oportunidade dada ao usuário de interagir com o ambiente, praticando novas idéias, elaborando questões, testando hipóteses.
Uma outra abordagem pedagógica que envolve a utilização da Informática na Educação é, segundo Papert (1994), a construcionista onde não é mais a máquina que ensina o aluno, mas o aluno que ensina a máquina. No construcionismo o aluno constrói, com o auxílio do computador, o seu próprio conhecimento.
Na noção de construcionismo de Papert existem duas idéias que contribuem para que esse tipo de construção do conhecimento seja diferente do construtivismo de Piaget. Primeiro, o aprendiz constrói alguma coisa, ou seja, é o aprendizado por meio do fazer, do "colocar a mão na massa". Segundo, o fato de o aprendiz estar construindo algo do seu interesse e para o qual ele está bastante motivado. O envolvimento afetivo torna a aprendizagem mais significativa. (VALENTE, 1999, p. 33)
Esta abordagem vai além da afirmação de que o conhecimento é construído, mas que isso acontece em um processo ativo onde os alunos estão engajados na construção de conhecimentos com significação pessoal, envolvidos emocionalmente, interessados.
Neste contexto surgem os softwares de ferramenta como os processadores de texto, que “assim como o lápis, o papel e outros recursos utilizados nas escolas, eles ajudam os estudantes e os professores a cumprirem suas tarefas, cujos conteúdos não são especificados” (Miskulin, 1999, p. 79); a planilha eletrônica (Spreadsheets) que foi criada para efetuar cálculos matemáticos e financeiros podendo ser utilizadas para fins educacionais em aulas de Matemática, Física, Química, Geografia, História, dentre outros, “por desenvolver e reforçar habilidades em processos de resolução de problemas, habilidades em generalizar, prever, tomar decisão e fazer hipóteses” (Wilson apud Miskulin, 1999, p. 83); o uso da linguagem de programação, como por exemplo, o LOGO, adiciona uma nova maneira de pensar e de resolver problemas; simuladores e o os jogos computacionais.

3. O uso do Sim City como um recurso didático para o ensino da Matemática na abordagem construcionista
O Sim City é um jogo computacional de simulação que permite ao jogador planejar, criar e construir uma cidade a partir de um terreno. Neste terreno é possível criar montanhas, definir o leito dos rios, plantar florestas, colocar animais e muito mais. Além de construir, o jogador terá que gerenciar a cidade, planejando o orçamento, os impostos, as condições climáticas e ainda administrar vários problemas urbanos como manutenção de vias públicas, transportes, saneamento básico, educação e bem estar social, funcionários públicos, etc. O jogo oferece recursos de informação, como noticiários e secretarias, gráficos, para que o usuário possa acompanhar problemas e/ou sucessos de sua cidade.
Os simuladores são softwares que consistem em uma operação sobre uma representação ou um modelo de um evento, de um fenômeno ou de um objeto (MISKULIN, 1999, p. 70). Trazem a possibilidade de inserir o jogador no ambiente proposto, apresentando um ambiente de exploração de algum fenômeno real onde pode haver a manipulação, exploração e experimentação, além de serem excelentes espaços de construção onde os sujeitos podem pensar em hipóteses e depois testá-las no simulador.
Huizinga (2000) comenta que o jogo é uma categoria absolutamente primária da vida, é uma parte e também gerador da cultura. Uma contribuição importante que este autor nos trouxe foi à definição de jogo como sendo
uma atividade ou ocupação voluntária, exercida dentro de certos e determinados limites de tempo e de espaço, segundo regras livremente consentidas, mas absolutamente obrigatórias, dotado de um fim em si mesmo, acompanhado de um sentimento de tensão e alegria e de uma consciência de ser diferente de vida cotidiana. (HUIZINGA, 2000, p. 16).
Entendemos que o Sim City satisfaz, pelo menos em parte, essa definição. Apesar de não ser considerada uma atividade livre não há, em nenhum momento, uma obrigatoriedade do aluno jogar. É exercido dentro de um espaço (computador) e com limite de tempo, apesar de não ser específico, determinado. Possui regras pré-estabelecidas que podem ser parcialmente modificadas pelas duplas, sendo porém, obrigatórias após o estabelecimento e consentimento dos participantes. Os jogos computacionais possuem, como qualquer outro, objetivos a serem alcançados e durante o processo de jogar há momentos de tensão e alegria. Tensão, momentos compostos de inesperado e situação-dilemática (Marco, 2004) quando o jogador está para fazer uma jogada correndo o risco de cometer um erro e perder o jogo e alegria se vier a ganhar o jogo. Pode também oferecer oportunidades de envolver em atividades diferenciadas do seu dia-a-dia. Ou seja, o jogo pode proporcionar momentos de prazer e diversão e ainda ser desafiador para o educando estimulando seu pensamento reflexivo.

K: Ó, a gente tá precisando de dinheiro. Nosso prédio ali está sem energia. A gente precisa por energia aqui. Nossa, as cadeias estão/ Aqui ó, eles tão com/ ... A capacidade de energia é muita e o uso é pouco.

...

K: A gente vai diminuir a capacidade de energia. ...

Vamo dar pausa um pouco porque a gente tá perdendo dinheiro e a gente tem que resolver antes de perder tudo o dinheiro.

M: Põe/

K: Só que não pode aumentar muito se não a gente não vai ter a quem pagar porque o povo vai embora.

M: Mas 8,5 aí já tava.

...

K: A gente tem que esperar. <...> Tem que esperar um pouco pra mudar... Pronto, agora vamo ver se a energia mudou. Energia caiu, então tá bom. <...>

M: É tá bom.

Neste episódio, as meninas estavam com um problema no orçamento e foram verificar os gráficos para saber o que poderia ser feito. Perceberam no gráfico da energia que o consumo era bem menor do que a energia disponível. Resolveram diminuir os gastos com a energia, porém, precisavam levar energia até a cadeia que estava distante da cidade.

 

Figura 1: Gráfico de energia

 

Neste episódio houve um momento de tensão, de inesperado e uma situação-dilemática. Precisavam resolver o problema de gastos e colocar energia na cadeia. Resolveram aumentar os impostos e diminuir a verba da energia. Depois de resolvido o problema houve certo alívio por parte das alunas e alegria por resolverem aquele problema.

O Sim City pode ser considerado um recurso didático no sentido que Pais (2000, p. 2-3) defende, como um instrumento capaz de “servir de interface mediadora para facilitar na relação entre professor, aluno e o conhecimento em um momento preciso da elaboração do saber”. Um software de simulação pode ser utilizado também como uma “criação pedagógica [que pode vir] a facilitar o processo de aquisição do conhecimento” (Pais, 2000, p. 2,3). (grifo do autor)
Como um recurso didático oferece oportunidade aos alunos de aprender enquanto jogam, ao gerenciar sua cidade, assim é possível que explorem e testem novas idéias e descubram o que acontece quando alguns princípios são aplicados em uma dada situação sendo os estudantes participantes ativos neste processo.
Segundo Kuntz (1999), enquanto jogam o Sim City, os alunos podem ter a experiência de tomada de decisões e perceber rapidamente as conseqüências das mesmas e ainda podem explorar, criar e seguir suas próprias hipóteses, além de possibilitar ao professor uma abordagem interdisciplinar, sendo possível trabalhar assuntos relativos à matemática, estatística, ecologia, história, geografia, ética.
De acordo com Kuntz (1999), os professores podem utilizar as simulações, mais especificamente, o Sim City em sua aula de matemática e verificar quais as conexões e aplicações às possibilidades educacionais dos currículos. É possível ainda verificar quais as potencialidades que este jogo computacional aponta à apropriação dos conceitos matemáticos e produção de significados para os objetos matemáticos.

K: Qual destes faz o rio? É esse aqui. Faz um rio daqui pra cá ((de baixo pra cima)), um rio daqui pra cá ((diagonal)) Na diagonal ou no canto?

M: Na diagonal, na diagonal.

K: Nossa o rio muito grande! Vamos por um maior, quer dizer, menor.<...> Eu peguei o negócio errado.

M: hum hum

K: <...> Então, vou fazer um rio. É neste aqui. Eu peguei o errado.

M: Mais fino

K: É... acho que é esse. É esse? Não. Não, e nesse. É... Nesse aqui.

M: Nesse ai.

K: <...>Na diagonal, pra cruzar toda cidade né? <...>

(registro oral)

 

Bom, pra começar nós escolhemos uma área reta e nela construímos várias coisas. ... Depois disso construímos um rio na diagonal para pegar a cidade toda. (M, registro reflexivo)

Observa-se que os sujeitos tiveram a percepção espacial do jogo, além do reconhecimento que o rio na diagonal iria atingir toda a cidade.

 

No contexto de ensino e aprendizagem, o objetivo do professor no trabalho com jogos deve valorizar seu papel pedagógico, ou seja, o desencadeamento de um trabalho de exploração e/ou aplicação de conceitos matemáticos. Além disso, a elaboração de estratégias de resolução de problema pelos alunos, com a mediação do professor, deve ser considerada. É necessário que o professor questione o aluno sobre suas jogadas e estratégias para que o jogar se torne um ambiente de aprendizagem e (re)criação conceitual e não apenas de reprodução mecânica do conceito, como ocorre na resolução de uma lista de exercícios denominados problemas (MARCO, 2004, p. 37).

K: Deixa eu ver um negócio, vamo vê, clica aqui no negócio, deixa eu fazer uma conta.

M: Aqui?

K: É...quanto que a gente tá ganhando? Um, oito, zero, seis.

M: 1806.

K: 1650. Quanto que a gente pode gastar a mais? Vamo vê... seis, sete. ((fazendo conta)) A gente tá ganhando isto aqui a mais

M: 156.

K: É. <...> Agora clica aqui, aqui neste aqui. É. Solicitar empréstimo. Aumenta um pouco porque só esse aí não vai adiantar nada pra gente. Mais.

M: Vamo emprestar tudo isto K? A gente já tá [com muita dívida]

K: [Não, não dá].   

M: A gente já tá com muita dívida.

...

K: Põe 100 mil/ é 10 mil. Porque a gente tá devendo 16 mi/ mais de 16 mil. 10 mil só não [vai adiantar só 5 mil]

M: [mas a gente tá devendo]/ dívida aqui.

K: Então isto aí não vai adian/ Ó se a gente pegar mais um de 5 mil dá:: pra:: pagar ainda ganhando.

M: Depois a gente vai ter outra dívida.

K: Daí a gente vai continuar pagan::do. Só que vai piorar. Porque daí a gente vai ter:: uma diferença de só:: Deixa eu ver.

...

K: [113] meses pagando sem pedir empréstimo... com empréstimo seriam ((fazendo as contas na calculadora)).

P: Vai...vai falando o que vocês tão pensando alto.

K: É, com empréstimo seria 10.931:: dividido por 95 porque diminuiria o que a gente tá ganhando, que vai dá ... não vai piorá:: [se a gente pedi um empréstimo] vai fica mais tempo ainda.

M: [115 meses]

K: Porque vai ter mais dívidas, vai ser 115

M: Vai ser três meses a mais.

K: Três meses a mais. Então eu acho que se a gente pedi um empréstimo não vai adiantar:: nada.

Neste episódio as alunas estavam buscando quais seriam as melhores estratégias para a resolução da situação-dilemática do jogo, que era a falta de dinheiro para fazer a cidade prosperar. Elas já haviam solicitado um empréstimo e estavam pensando se esta não seria uma solução agora também. Fizeram contas no papel e na calculadora para ver se o empréstimo seria adequado. Quanto tempo levariam para pagar e quanto a mais seria acrescentado nas despesas mensais.

 

A utilização deste recurso didático possibilita que idéias matemáticas sejam trabalhadas como, por exemplo, a experimentação e manipulação de dados e estratégias, a análise de dados, o fazer conjecturas, a utilização do raciocínio abdutivo, dedutivo e indutivo e ainda a possibilidade de desenvolver a percepção espacial, a comunicação verbal e não verbal, o interesse pela investigação e resolução de problemas.
A resolução de problema, nessa perspectiva, é vista como uma situação na qual o problema é desencadeador do processo de aprendizagem, uma vez que o aluno está inserido em um movimento de pensamento e elaboração de conhecimentos, visando resolver o problema enfrentado, por meio da utilização de conceitos matemáticos. Movimento de pensamento entendido como movimento do sujeito, como aluno vivo frente a uma situação conflituosa, desafiadora (MARCO, 2004: 24). Este movimento entre o pensamento utilizando recursos matemáticos conhecidos dos sujeitos diante da situação-dilemática do jogo foi possível de ser observada no episódio acima citado.
Diante do movimento de pensamento de resolução de problema por nós considerado, o qual não se apresenta em forma de etapas estanques, mas sim em um movimento dialético, acreditamos que o pensamento está em constante diálogo com o conhecimento lógico, criativo, imaginativo, social, cultural e afetivo. Essa concepção de aprendizagem apresenta-se em sentido oposto a uma pedagogia que incorpora os mecanismos da repetição das formas abstratas dos conceitos científicos, gerando pensamentos e conhecimentos fragmentados do conceito. Podemos inferir que a pedagogia, desconectada da compreensão, valoriza e contribui para a determinação do saber fazer operacional do conceito em detrimento do saber pensar conceitual, o que implica a contra-aprendizagem matemática (MARCO, 2004, p. 30).
O Sim City pode ser utilizado como um desencadeador do processo de aprendizagem e assim contribuir com o professor de Matemática na elaboração de atividades em sua sala de aula sendo utilizado em uma abordagem construcionista.

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BARANAUSKAS, Maria Cecília. et al. In: O computador na sociedade do conhecimento. VALENTE, José Armando (org). Campinas: UNICAMP/NIED, 1999, p. 45-69. Disponível em http://www.miniweb.com.br/Atualidade/Tecnologia/Artigos/colecaoproinfo1.htm acesso em 05.maio.2005.

FIORENTINI, Dario. A Educação Matemática Enquanto Campo Profissional de Produção de Saber: A trajetória brasileira. Dynamis, Blumenau, vl. 7, p.7-17, abr/jun 1994.

GÓMEZ-GRANNEL, Carmen. A aquisição da linguagem matemática: símbolo e significado. In TEBEROSKY, Ana e TOLCHINSKY, Liliana (orgs.). Além da alfabetização: a aprendizagem fonológica, ortográfica, textual e matemática. São Paulo: Ática, 2002. p. 257-295.

GONZÁLES, Fredy E. Agenda latinoamericana de investigación educación matemática para el siglo XXI. Educacion Matemática, vol. 12, nº 1, Abril 200, p.102-128

HUIZINGA, Johan. Homo Ludens: o jogo como elemento da cultura. São Paulo: Perspectiva, 1999, 243 p.

LERMA, Inés Sanz. Comunicación, lenguaje y matemáticas. IN: CISCAR, Salvador Llinares. GARCIA, Mª Vitória Sanches. Teoria y Práctica em Educación Matematica. Alfan. Servilha. Espanha, 1990. p.173-235

MARCO, Fabiana Fiorezi de. Estudo dos processos de resolução de problema mediante a construção de jogos computacionais de matemática no ensino fundamental. 140 p.Dissertação (Mestrado em Educação), 2003, Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas. Disponível em http://libdigi.unicamp.br/document/?code=vtls000316327 acesso em 29 jul. 2004.

MIGUEL, Antonio, O Projeto de Disciplinarização da Prática Social em Educação Matemática. 26ª Reunião Anual da Anped, 2003, GT 19 – Educação Matemática, Trabalhos Encomendados, http://www.anped.org.br/26/outrostextos/tegt19.rtf acesso em 02.mar.2004.

MISKULIN, Rosana Giaretta Sguerra. Concepções teórico-metodológicas sobre a introdução e a utilização de computadores no processo ensino/aprendizagem da geometria. 577 p. Tese (Doutorado em Educação), 1999, Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas. Disponível em http://libdigi.unicamp.br/document/list.php?tid=27 acesso em 25.mar. 2004.

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