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  O ENSINO DA MATEMÁTICA: UM ESTUDO DOS SABERES GERADOS NA REALIZAÇÃO DE TAREFAS EXPLORATÓRIO-INVESTIGATIVAS

Claudia Neves do Monte Freitas de Lima - Universidade São Francisco-USF

A sociedade contemporânea conhecida como “sociedade de informação” onde tudo acontece muito rapidamente, principalmente às informações que são geradas e circuladas de forma quase instantânea, exige mudança nos cenários sociais, dentre os quais no sistema de ensino. Qual é o verdadeiro papel da escola nesta nova sociedade? Será que continuar com o método tradicional de transmitir conhecimentos satisfaz as novas exigências da sociedade?

O sistema educativo da época industrial não corresponde às necessidades econômicas do tempo presente. A informação é o novo capital e o novo material, os meios de comunicação são os novos meios de produção. Deste modo podemos entender que a escola deve acompanhar as mudanças da sociedade com um sistema escolar organizado de modo a servir como um importante recurso para todos os cidadãos, durante a sua vida inteira. As informações geradas necessitam ser sistematizadas e passadas por processos analíticos, gerando novos conhecimentos. Nesse contexto, a única instituição capaz de produzir conhecimento é a escola. Daí a sua importância central nessa sociedade informacional.

O ensino da matemática, particularmente, em épocas anteriores estava reservado a uma elite intelectual; hoje temos o ensino obrigatório para todos e, na maioria dos currículos, a Matemática consta como disciplina obrigatória. Isso implica que a matemática deve ser ensinada para todos sem distinção de sexo, raça ou condição social. Na verdade todos os cidadãos devem ter acesso a uma formação que, muito para além dos aspectos utilitários da matemática valorize a compreensão da sua natureza e das suas características como modo de pensar e como atividade humana.

Já em 1991, nas Normas para o currículo e a avaliação em Matemática escolar (ou Standards, no original), o NCTM defendia como grande objetivo para o ensino da Matemática a aquisição e o desenvolvimento pelos alunos de poder matemático, dando ênfase à resolução de problemas, à comunicação e ao raciocínio. Aprender a comunicar matematicamente constituía um objetivo geral para todos os alunos, pois, ao comunicarem as idéias, iam clarificando, refinando e consolidando o seu pensamento matemático.

Dentre os objetivos valoriza-se o trabalho matemático que envolva comunicação matemática e reforça-se esta norma. Conforme o documento (NORMAS, 1991, p.33), “a comunicação desempenha um papel importante na construção de elos de ligação entre as noções informais e intuitivas das crianças e a linguagem abstrata e simbólica da matemática; desempenha, também, um papel-chave na construção de relações entre as representações físicas, pictóricas, gráficas simbólicas, verbais e mentais das idéias matemáticas”.

Com a veiculação do que defendia o NCTM, aconteceram reformas curriculares, no ensino da matemática, em vários países, acompanhando-se os objetivos gerais por eles preconizados, dentre os quais o Brasil com os PCN’s e PCNEM’s como podemos verificar nos trechos dos documentos abaixo:

Objetivos Gerais para o Ensino Fundamental tem finalidades dentre as quais de levar o aluno a: (PCN, 1998, p.40 e 41).

• Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo a sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas:

• Resolver situações–problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;

• Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas;

• Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.


Objetivos para que o ensino da matemática possa resultar em aprendizagem real e significativa (PCNEM, 2000, p.42):

• Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como espírito crítico e criativo;

• Expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem...


Competências e habilidades a serem desenvolvidas em matemática (PCNEM, 2000,p. 46.).

• Exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna como na linguagem matemática, usando a terminologia correta;

• Produzir textos matemáticos adequados;

Nos documentos Brasileiros, destaca-se a abertura ou flexibilização dada para o trabalho usando a comunicação oral e escrita na disciplina de matemática possibilitando, deste modo, oportunidades genuínas para que os professores revertam o quadro de mudez existente em muitas salas de aula do nosso país, ou seja, proporcionar ao aluno a oportunidade de usar habilidades de ler, ouvir, observar, questionar, e avaliar seus próprios caminhos. Nesse contexto, ora apresentado, que se desenvolve a pesquisa descrita abaixo.

A presente pesquisa , utilizando tarefas exploratórias e investigativas, propõe o desenvolvimento de processos de reflexão, interação e comunicação de idéias matemáticas em sala de aula. Os objetivos específicos do estudo são:

1. Analisar o processo de comunicação de idéias matemáticas;

2. Analisar as argumentações dos alunos diante das tarefas exploratórias e investigativas;

3. Analisar as interações em sala de aula.

Em face de a pesquisa encontrar-se em andamento, apresentaremos um recorte com alguns aspectos analisados no projeto-piloto realizado em 2004, com ênfase para a comunicação de idéias matemáticas, tema da proposta do grupo de comunicações.

A comunicação matemática em sala de aula

De acordo com Pontes et al (1999), a comunicação matemática é um aspecto também importante do processo de ensino - aprendizagem. É através da comunicação oral e escrita que os alunos dão sentido ao conhecimento matemático que vai sendo construído. Esta comunicação desenvolve-se com base na utilização de diferentes modos de trabalho e na gestão do espaço e do tempo realizadas pelo professor. Finalmente, o ambiente de aprendizagem e a cultura da sala de aula são elementos decisivos na aprendizagem.É na interação dos indivíduos uns com os outros que se desenvolvem capacidades cognitivas e se promovem as atitudes e valores indicados pelas orientações curriculares.

As tarefas exploratórias e investigativas contemplam os requisitos acima expostos, sob o aspecto da comunicação matemática, pois, as mesmas são problemas abertos, na maioria das vezes, propostas pelo professor; mas uma vez propostas, têm de ser interpretadas pelo aluno e podem dar origem a atividades muito diversas (ou nenhuma atividade) conforme a disposição do aluno e o ambiente de aprendizagem.

Para esclarecermos melhor, o conceito de atividade e tarefa não devem ser confundidos. Conforme Ponte (1997) tarefas matemáticas são aquelas em que os alunos se envolvem e são do tipo problemas, investigações, produções escritas, etc. e elas proporcionam o ponto de partida para a atividade matemática. A atividade, que pode ser física ou mental, diz respeito ao aluno. Refere –se àquilo que ele faz num dado contexto, podendo incluir a execução de numerosos tipos de ação.

Outro aspecto que devemos considerar na realização de tarefas matemáticas são as interações dos alunos entre si e entre alunos e professor, que culminam com duas formas de intervenção fundamentais na sala de aula, a comunicação e a negociação de significados.

Bishop e Goffree (1986, apud FONSECA, 2000) abordam a comunicação como algo de fundamental para a partilha de significados na aula de Matemática. Segundo estes autores, “apenas através do encorajamento do professor para a comunicação entre todos os participantes da aula é possível uma genuína partilha de significados matemáticos” (p. 329). De um modo geral, os alunos entendem a Matemática de uma maneira muito pessoal e, conseqüentemente, criam os seus próprios significados que, muitas vezes, são completamente desconhecidos do professor. A explicitação destes significados só pode ser feita quando há comunicação entre quem os explica e quem os quer ouvir estabelecendo-se entre eles um processo de permuta e identificação. A comunicação matemática na sala de aula é, pois, um indicador da natureza do processo de ensino-aprendizagem e, simultaneamente, uma condição para o seu desenvolvimento (PONTE et. al, 1997). Estes autores defendem que a comunicação “refere-se à interação dos diversos intervenientes na sala de aula, utilizando uma linguagem própria, que é um misto de linguagem corrente e de linguagem matemática” (p.83). Assim, é através do discurso dos diversos intervenientes que normalmente se analisa a comunicação.

A condução do discurso na sala de aula é parte importante do papel do professor; cabe a ele proporcionar questões e tarefas que facilitem, motivem e desafiem o pensamento de cada aluno.

O professor precisa saber ouvir e dar atenção às idéias dos alunos e também devem pedir para que eles justifiquem oralmente ou por escrito os seus pensamentos. Mesmo que a produção escrita seja por muitas vezes pobre, devemos insistir, pois, elas são parte integrante do processo de ensino e aprendizagem.

A comunicação é essencial para que se verifique uma abordagem bem sucedida das explorações e investigações matemáticas (GREENES; SCHULMAN, 1996, apud FONSECA, 2000). Cabe aos alunos comunicar uns com os outros para obter informações, partilhar pensamentos e descobertas, gerar, avaliar e aperfeiçoar idéias e planos e convencer os outros. Cabe ao professor estimular o interesse por esse tipo de tarefas, ajudando os alunos no processo de exploração e investigação através do seu comportamento e do modo como organiza a aula. Assim, deverá procurar identificar questões que interessem aos alunos e estimulá-los a formular tais questões. Na medida que se adquira este hábito, os próprios alunos irão fazer perguntas durante a aula.

Numa aula de Matemática tradicional, o discurso é caracterizado como sendo exclusivamente centrado no professor. Cabe-lhe expor e explicar os conhecimentos, questionar e corrigir os alunos e validar aprendizagens. Aos alunos é deixada a tarefa de seguir o raciocínio do professor e de responder às questões por ele colocadas. Num outro tipo de aula, utilizando-se tarefas exploratórias e investigativas, os alunos têm uma participação mais ativa no processo de ensino-aprendizagem. O professor fomenta a interação verbal entre os alunos, levando a que a autoridade do saber deixe de estar centrada no professor e passe a ser centralizada no par professor/alunos (MENEZES, 1997, apud FONSECA, 2000, p.45). Estes últimos apresentam as suas idéias e conjecturas ao professor e aos colegas, raciocinam em conjunto uns com os outros, permitindo ver “a matemática como uma construção de seres humanos no seio de uma comunidade intelectual”.

Podemos então dizer que uma tarefa de investigação caracteriza-se por enunciados e objetivos poucos precisos e estruturados, sendo o aluno o responsável pelo levantamento de questões e pela definição de objetivos, explorando situações que desconhece. Deste modo, se pensarmos na dinâmica de uma aula, em que seja trabalhada uma investigação, encontramos um conjunto de características diferentes daquelas que encontramos noutro tipo de aula.

A tarefa exploratório-investigativa e a comunicação de idéias

Evidenciaremos os aspectos acima na apresentação de algumas análises do projeto–piloto realizado em 2004, com alunos do 3º ano do ensino médio, em uma escola estadual, na cidade de Caçapava, SP.

Trata-se de uma pesquisa de abordagem qualitativa, baseada no estudo de caso, com participação do professor e alunos como sujeitos. Assim, as informações estão sendo coletadas através dos seguintes instrumentos:

• Audiogravações das discussões em pequenos grupos ou no coletivo da classe;

• Produções escritas dos alunos;

• Registros feitos no diário de campo.

Na realização do piloto distribuí a tarefa abaixo descrita com as orientações para o trabalho:

TAREFA I

DOBRAGENS E CORTES

1)OBJETIVOS: Contribuir para que os alunos com suas experiências descubram as próprias maneiras de “fazer matemática”, estabelecendo relações entre situações da realidade e situações matemáticas, desenvolvendo assim as visualizações espaciais e as diferentes formas de representação geométricas.

2)ROTEIRO PARA ELABORAÇÃO DE TAREFAS:

a) As tarefas serão feitas por grupos de 3 ou 4 alunos;

b) O tempo para realização das tarefas será de 50 minutos partindo do ínicio da atividade;

c) Os grupos deverão escolher para organização das tarefas:
_ 1 redator
_ 1 cronometrista
_ 1 orador
_ 1 coordenador


d) O redator deverá anotar toda a descrição durante a execução das tarefas, poderão usar desenhos, esquemas, tabelas...

E ao final deverá resumir as anotações de forma clara e organizada;

e) Para exploração da tarefa vocês irão precisar de papéis e tesouras.

TAREFAS

a) Pegue uma folha de papel, dobre ao meio, e depois outra vez ao meio;...

b) Que tipo de figura você irá obter, fazendo um corte no papel? Anote que tipo de figura você terá antes de efetuar o corte;

c) Você irá realizar um corte no canto formado pelas dobras.Após o corte, você irá abrir a figura extraída;

d) Que figura você obteve? Foi a mesma que você anotou?Se não foi, como você acha que deveria cortar a folha para obter a figura que pensou? Por quê?

e) Você sempre obterá a mesma figura? Discuta com seu grupo e prepare-se para a apresentação.

Após a distribuição fiz a leitura com eles esclarecendo sobre o roteiro, afinal este tipo de aula não é comum para eles; pedi para que anotassem tudo. Na fase inicial eles ficaram bastante ansiosos, fazendo vários tipos de perguntas, depois começaram a trabalhar e ocuparam as duas aulas no desenvolvimento do trabalho.

O papel do professor foi uma das análises importantes que pude fazer com este piloto, como não estamos acostumados à dinâmica da aula, questiona-se: Qual postura o professor deve adotar nas aulas investigativas? Conforme preconiza Fonseca (2000), reconhece-se que, relativamente ao apoio prestado pelo professor em aulas de trabalho investigativo, o melhor é interferir o menos possível para promover a autonomia dos alunos. Mas, na prática, torna-se difícil cumprir esta recomendação, acabando o professor, por vezes, por orientar demasiado.

Ao final do trabalho acontece um momento importante da realização da tarefa, a socialização, ou seja, uma reflexão sobre o trabalho realizado e as descobertas feitas, o que pode ser proporcionado através de uma discussão geral entre os alunos em que o professor desempenha papel moderador e ajuda a fazer a síntese final (ABRANTES et al, 1999).

Para transmitir melhor o que aconteceu durante a aula, apresentaremos abaixo alguns dos registros escritos pelos alunos, usados para a análise. Para melhor esclarecimento a figura obtida é um losango e os registros relatam as conjecturas levantadas na tarefa:

Registro 1: “Todo quadrado pode virar um losango, mas nem todo losango pode virar um quadrado”.

Registro 2: “O losango não pode virar um quadrado, pois as características do quadrado são:
_ quatro lados iguais;
_ linhas retas que formam ângulos retos.
Já o quadrado pode virar um losango, pois não precisa ter estas características “.

Registro 3: “Chegamos a uma conclusão de que um quadrado deveria ter ângulos de 90o, que não é o caso do losango”.

Registro 4: “Todo quadrado pode virar um losango, mas nem todo o losango pode virar um quadrado, isto é derivado da angulação em que cortamos a folha dobrada”.

Registro 5: “Um losango não pode virar um quadrado porque o quadrado tem 4 ângulos de 90o, já o losango não tem”.

Registro 6: “Ao efetuar o corte se formou um losango que não pode se tornar um quadrado, pois o quadrado tem que ter os ângulos de 90o”.

Esses registros nos sinalizaram questões importantes que se tornaram nosso objeto de reflexão. Uma delas diz respeito ao fato de os alunos, ao final de um ensino médio, ainda não terem a inclusão de classes e compreenderem que o quadrado é também um losango. Assim, por exemplo, com exceção dos registros 2 e 4, todos os demais não consideraram que o losango pode ter ângulos retos (e nesse caso ele é retângulo e, portanto, quadrado). No caso dos registros 2 e 4, pode-se inferir que os grupos, provavelmente, queriam nos dizer que todo quadrado é losango, mas nem todo losango é quadrado.

Uma segunda reflexão promovida pelos registros, diz respeito à linguagem do professor na sala de aula. O fato de vários grupos utilizarem a palavra ‘virar’ nos estimulou a refletir que esse foi um termo por nós utilizado e que acabou sendo apropriado por eles.

Uma terceira reflexão, decorrente da primeira, vem no sentido de reforçar o abandono da geometria na educação básica. Os próprios PCNs há 10 anos no meio escolar, já sinalizam a importância do ensino de geometria desde o início da escolarização. Essa inclusão de classes, na classificação dos quadriláteros, é conteúdo proposto para o 2o e 3o ciclos do ensino fundamental (de 3a a 6a série). Portanto, ao propor essa tarefa, pensávamos que esse fato não geraria problemas, pois esse conceito seria de domínio dos alunos. Nesse sentido, as Normas (1991, p. 94), ao discutirem a importância dos contextos de comunicação de idéias nas aulas de matemática, afirmam: “Escrever e falar sobre o que pensam clarifica as idéias dos alunos e dá ao professor informação valiosa a partir da qual ele pode tomar decisões sobre o seu trabalho”.

De fato, decisões foram tomadas nas aulas seguintes, com vistas a retomar esse erro conceitual dos alunos. Os registros foram devolvidos para que os grupos os analisassem e percebessem os problemas existentes. Esse trabalho foi complementado com uma discussão sobre a classificação dos quadriláteros.

A tarefa proposta acabou se configurando como exploratória, visto que ela não possibilitou avanços por parte dos alunos. Isso reforça outra característica que vem sendo discutida quanto à aplicação de tarefas investigativas: a necessidade de que o aluno tenha algum conhecimento prévio sobre a temática a ser abordada. No entanto, se não tivéssemos aplicado tal tarefa, não teríamos esse diagnóstico da turma.

Essa experiência nos possibilitou identificar alguns aspectos que passaram a contribuir para os objetivos propostos para a pesquisa. O primeiro deles diz respeito à verificação de aspectos centrais à dinâmica das aulas:

• O papel de intervenção do professor: a realização desse piloto nos possibilitou compreender que o professor tem que estar atento às diferentes conjecturas e idéias que os alunos estão explicitando para fazer as intervenções adequadas. Fazer intervenções não no sentido de dar as respostas, mas, principalmente, de tentar compreender os raciocínios que os alunos estão explicitando e ajudar-lhes a avançar propondo questões instigantes. Dessa forma, essa experiência esclareceu alguns dilemas e dificuldades do professor na realização do trabalho investigativo;

• O tipo de tarefa depende também da forma de aplicação, pode ser exploratória ou investigativa. No presente caso, ela foi apenas exploratória, até mesmo pela limitação conceitual dos alunos. Se o conteúdo relativo a quadriláteros fosse de domínio da turma, eles poderiam ter levantado outras conjecturas; modificado a forma de dobragem da folha; posto novas questões não previstas pela professora.

Essa experiência também possibilitou a identificação de outros aspectos no desenvolvimento das aulas:

- O envolvimento dos alunos e o desafio como a motivação para a realização das tarefas. O aluno se envolve numa tarefa dessa natureza, principalmente quando diante de uma situação na qual terá que expor suas próprias idéias, de forma autônoma, sem esperar que o professor diga o que ele tem que fazer.

- O “medo” que os alunos tem de errar nas produções escritas, principalmente em matemática Esse fator impede um melhor desenvolvimento da escrita. Isso reforça o mito de que as aulas de matemática não se constituem em espaço para leitura e produção de textos.

- A Comunicação verbal entre os pares possibilita uma melhor discussão e defesa de suas argumentações. É a possibilidade de ocorrência de um espaço de negociação de significados. Quem fala, precisa saber se expressar para ser entendido pelo colega; quem ouve precisa ‘entrar no raciocínio’ do colega para entender o que ele está a dizer. E, no momento da escrita do consenso do grupo, todos devem partilhar dessa redação final. Esse não é um movimento tranqüilo e, muitas vezes, temos presenciado contextos em que os alunos, mesmo pertencendo a um mesmo grupo, no momento da socialização fazem questão de dizer o seu raciocínio particular, que não foi consenso no grupo.

- Os alunos apesar de apresentarem receios com a escrita, puderam através de seus registros desenvolver melhor esta habilidade. É notório que quando se trabalha com a dinâmica da escrita nas aulas de matemática, os alunos avançam significativamente na produção dos textos.

- A socialização, momento onde se apresentam os trabalhos de cada grupo, foi importante para os alunos e professor, apesar dos alunos ainda estarem tímidos, promoveu a comunicação oral e uma grande partilha de significados. No atual contexto, na sociedade informacional, o indivíduo precisa saber se comunicar, principalmente, oralmente; saber defender seus pontos de vista, ter autonomia intelectual. Para o professor representa um diagnóstico da turma, ou seja, é possível identificar aqueles alunos na turma que são mais retraídos para exporem suas idéias, sinalizando trabalhos diferenciados que devem ser feitos com os mesmos.

- Os alunos trabalham com mais motivação neste tipo de aula porque sentem que estão envolvidos no processo, ou seja, podem falar, discutir, argumentar e tem voz ativa.

De um modo geral, evidenciou-se um envolvimento significativo dos alunos, que assumem um papel mais autônomo nas aulas de matemática. Explorar situações e idéias, fazer e testar conjecturas, generalizar, discutir, além de desenvolverem a capacidade de comunicar raciocínios e idéias matemáticas e não matemáticas, oralmente e por escrito, tornam-se elementos-chave do trabalho na sala de aula culminando com maior ênfase no raciocínio e nos processos de pensamento matemático.

Referências Bibliográficas

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National Council of Teachers of Mathematics (1991). Normas para o currículo e avaliação em Matemática escolar. Lisboa: APM e IIE. (tradução portuguesa da edição original de 1989)

PONTE, J. P., BOAVIDA, A. M., GRAÇA, M. & ABRANTES, P. Didáctica da Matemática. Lisboa: Ministério da Educação – Departamento do Ensino Secundário, 1997.

PONTE, J. P., FERREIRA, C., BRUNHEIRA, L., Oliveira, H. & VARANDAS, J. Investigando as aulas de investigações matemáticas. In P. Abrantes, J. P. Ponte, H.Fonseca & L. Brunheira (Orgs.), Investigações matemáticas na aula e no currículo, Lisboa, Projeto MPT e APM, 1999.

PONTE, João Pedro, BROCADO, Joana e Oliveira, Hélia. Investigações Matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.

 
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