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  A ABORDAGEM INDIRETA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA RUPTURA COM A DISCRETIZAÇÃO DAS QUANTIDADES NO ENSINO DE FRAÇÃO NA MATEMÁTICA ESCOLAR

Esther Pacheco de Almeida Prado - FE - UNICAMP

Marcos Tarciso Masetto - PUC/SP

Este texto pretende discutir alguns aspetos sobre a formação do conceito de fração e suas possibilidades de desenvolvimento em sala de aula. Tentaremos analisar as questões: Qual é a função da história da matemática na matemática escolar? Quais as ações humanas que participam da geração de idéias matemáticas na determinação de novos conceitos? Como inserir no ensino da matemática escolar, de modo a tornar visível ao aluno, os elementos da história da matemática, as ações humanas e as relações que geram idéias matemáticas?

Para responder a estas questões nos apoiamos na caracterização de Schubring (1997:157) quanto as duas abordagens de ensino para a história da matemática. Caracteriza como abordagem direta, a introdução de elementos históricos, biografias de matemáticos renomados, estudo de textos originais que, isolados e desintegrados na aula podem ficar reduzidos a anedotas ou a citações simplistas dos textos originais sem implicar na aprendizagem do aluno. Para o autor trata-se da história episódica do movimento do conceito, descritiva e factual. Este é o caminho da história do movimento do conceito. Tentaremos nos manter afastados desta abordagem.

Adotaremos o outro caminho indicado por Schubring (1997), o do movimento da história do conceito, denominado por abordagem indireta que pode ter uma função metodológica. Não se trata mais da história do conceito, do fato histórico em si mas sim do movimento que é apreendido da história conceitual, seus contrários em luta, suas sínteses sucessivas, seus bloqueios e superações. Para Schubring (1997), a compreensão de um conceito depende da transmissão do saber sobre este conceito.

É nesta perspectiva que este texto vai tratar o desenvolvimento da história no ensino da matemática escolar, no sentido de orientar o professor na organização dos conteúdos para as aulas e na integração e interpretação das contribuições dos alunos. Schubring (1997). Pretendendo, assim, superar a visão continuísta e cumulativa de fatos históricos, e desenvolver novas concepções do conhecimento matemático escolar que compreendem o desenvolvimento conceitual como continuidade e ruptura indicados por Caraça (1984), Hogben (1958) e Aleksandrov (1994).

Consideramos que a história de um conceito é fundamental para dela extrairmos o movimento, ou lógica, conceitual. Nela percebemos que a busca de soluções nas sociedades antigas para resolver problemas que definem sua sobrevivência e, conseqüentemente, apóiam seu desenvolvimento, provoca pensamentos cada vez mais elaborados. Tanto para resolver problemas de situações cotidianas como também resolver problemas matemáticos, a experiência e o pensamento teórico formam um dueto.

Os números naturais não abrangem todo o conhecimento matemático, mas é a partir deles que outros números vão sendo necessários para a vida real. O seu surgimento depende do desenvolvimento econômico de determinado povo em determinada época. Para Caraça (1984:5) os novos problemas, como as determinações de comprimentos, áreas, etc, surgem quanto mais elevado for o nível da civilização. Aí sim, as novas ações exigem novos números.

Os novos números, neste texto, os racionais, podem ter raízes na necessidade de prever o início das estações para estabelecer o calendário das plantações e colheitas. Os sacerdotes egípcios faziam dificílimas observações das enchentes e vazantes do rio Nilo, por meio de uma medida especial, o nilômetro – sistema de canais subterrâneos dissimulados - para medir a altura da águas do rio. Para Childe (1975:157 e 159) a tentativa de estabelecer um calendário para as cheias seria uma tentativa de consolidar a autoridade e, para colocá-la em prática, cortavam o abastecimento de água ao bloquear os canais de irrigação.

Hogben (1958:20) considera que os sacerdotes egípcios desenvolveram uma linguagem de medição que não era a linguagem usada para dizer ao povo suas profecias. Usavam uma linguagem para registrar suas observações e outra para as entrevistas concedidas às "jornalistas sentimentais" da imprensa dominical. Esse artifício tornou a linguagem das medições inacessível ao homem comum.

Ainda hoje, vivendo a democratização da leitura e da escrita da linguagem das espécies, o homem comum tem acesso às descobertas científicas, mas não àquelas cujas medições são complicadas. Hoje, mesmo não sabendo ler ou escrever a linguagem das grandezas, todos aprendemos a falá-la. O domínio do saber falar a linguagem das grandezas não significa conhecer sobre as grandezas. O falar sobre as grandezas depende da nossa herança cultural. (Hogben, 1958:21).

Nosso legado cultural de medição supera os conhecimentos dos sacerdotes egípcios. Falamos mais a linguagem das grandezas, o que não nos autoriza a dizer que entendemos mais sobre grandezas e medidas do que os egípcios entendiam.

A necessidade do estabelecimento de um calendário para as enchentes do Nilo contribuiu para o desenvolvimento em direção à linguagem das grandezas. As condições geográficas do vale do Nilo, com a regularidade das cheias em cada outono, favoreceram a limpeza dos terrenos para o plantio de cereais. Esse empreendimento só poderia ser possível em uma sociedade bem organizada e razoavelmente equipada com ferramentas eficientes. (Childe, 1975:84).

É possível que os calendários fossem organizados a partir da regularidade de certos fenômenos naturais, que no Egito eram bem definidos, acarretando sua divisão não em partes equivalentes mas pela sucessão dos acontecimentos desses fenômenos. Um dia é separado do seguinte por uma quantidade variável de treva, do mesmo modo que uma ovelha é separada da sua vizinha, quantitativamente idêntica, por uma camada variável de atmosfera. (Hogben, 1958:54).

Até então a humanidade usava os mesmos números para representar a grandeza de unidades naturalmente separadas, como as ovelhas, e também para representar a ordem de um acontecimento regular, como as estações do ano. Mas a utilização desses números de uma maneira nova apareceu quando o homem passou

a dividir os dias por meio da sombra solar, passou também a usar os velhos números de um modo inteiramente novo. Uma hora não é separada de outra por nenhum acontecimento natural, como o período úmido que separa duas estações sêcas ou como a sucessão de fases lunares que separam dois plenilúnios. Horas e minutos correspondem tão somente a medições feitas a régua, medições essas que podemos fazer com maior ou menor precisão, conforme os cuidados tomados na construção da régua e na observação da posição do indicador (isto é, do ângulo da sombra), no momento em que o último grão de areia cai na ampulheta, ou a posição dos ponteiros do relógio. (Hogben, 1958:54).

E, a partir dessa medição, os homens antigos passaram a utilizar, indiscriminadamente, o mesmo número para dizer sobre as coisas naturalmente separadas, o aspecto discreto das quantidades, e sobre as coisas, que embora não estivessem naturalmente separadas em unidades, o aspecto contínuo das quantidades, possibilitavam que interferissem e as organizassem de tal modo que pudessem ser medidas, obtendo assim informações das quais dependia sua sobrevivência.

O uso do mesmo número para medir unidades de aspectos diferentes, discreto e contínuo, simplesmente acrescentando uma nova função para o velho número acarretou uma série de problemas. Os números naturais foram criados para nomear o aspecto discreto da quantidade e para tal serviam perfeitamente. Já para o aspecto contínuo, que não está separado naturalmente, por mais que possamos dividi-lo em partes iguais, elas serão tão iguais quanto permitirem os nossos instrumentos. (Hogben, 1958:62).

Outras questões se apresentavam para os homens antigos: Quanto espaço plano encerra uma figura? Quanto espaço sólido encerra uma sala? Quanto de matéria contém este objeto? (Hogben: 1958). Em todas elas a resposta era sempre expressa com a idéia do número antigo. Esse número era utilizado pelo homem prático como uma ferramenta, como se fosse um martelo, uma régua, uma enxada. Contar ovelhas, frutos, árvores não é da mesma natureza que "contar" comprimento, área, volume, peso, etc.

Encontraremos maior facilidade em contornar algumas das dificuldades que se nos depararão (...) se compreendermos, de início, que a primeira utilização dos números foi para denotar a ordem exata que um objeto ou acontecimento ocupava dentro de uma série, e que a necessidade de descobrir regras que regulassem a utilização dos números só se fez sentir quando o homem começou a aplicá-los a medições que nunca poderão ser precisas. (Hogben, 1958:72)

A confusão gerada pelo uso do mesmo número para o controle dos aspectos discreto e contínuo das quantidades, demorou muito tempo para ser esclarecida. A idéia dos números naturais, que hoje nos parece extremamente simples, foi sendo elaborada muito lentamente nas sociedades primitivas, que percebiam diretamente os números naquilo que queriam contar.

Podemos considerar que Aleksandrov (1994:26) indica um caminho percorrido para a elaboração do conceito de números naturais. Primeiro contaram diretamente os objetos através de um método concreto, descobriram e assimilaram suas relações, como a correspondência biunívoca e as operações elementares da adição, multiplicação e suas inversas, e gradualmente foram estabelecendo algumas leis de caráter geral. O estudo das relações entre os números é o objeto de estudo da aritmética.

Documentos da Antigüidade herdados dos babilônicos, chineses e egípcios, através de tábuas e registros escritos em pergaminhos, contém problemas práticos como o preço do pão ou da cerveja e questões que envolviam preocupações com equações quadráticas, cúbicas, progressões, e outros. Podemos supor que, além das preocupações com os problemas do dia-a-dia, também demonstravam ter interesses por problemas que não estavam estritamente relacionados à vida cotidiana. Embora a aritmética desses povos se mostre bem desenvolvida ainda não existe uma teoria numérica, mas apenas o que Aleksandrov (1994:32) denomina por coleção de soluções de certos problemas e de regras de cálculo.

Essa visão de aritmética, como uma coletânea de soluções para determinados problemas, configura-se como uma concepção teórica, quando surgem os símbolos, o que torna possível a realização de operações com números cada vez maiores. O que era impossível de ser realizado para uma coleção de objetos quando eram controlados pela contagem um a um. (ibid)

O autor avalia que hoje a criança já nasce com a herança dos produtos do pensamento matemático na sua forma mais abstrata, a palavra e o símbolo numérico acumulados pelas gerações. Mas o que não está presente quando ensinamos apenas os símbolos e as palavras para as crianças é o pensamento matemático que os gerou. Quando a escola, família, amigos e os meios de comunicação ensinam para as crianças que a sua idade é “tantos anos”, que “meio” é metade de alguma coisa, que o metro, o litro, o quilo, etc., são unidades de medidas utilizadas nesta ou naquela situação, isto não é ensinar a pensar matemática. É apenas uma regra para determinadas situações, que forma uma coletânea de soluções no mundo atual.

Quando ensinamos os números sem nos preocuparmos com os elementos de sua criação numérica o que fica visível é, apenas, o elemento da linguagem numérica, o símbolo numérico. O que não se vê e que é desprezado pela lógica matemática e pelo uso mecânico do número é toda extensão e profundidade da correspondência biunívoca.

Quando ensinamos, apenas, a partir do símbolo do numeral fracionário, , o que fica invisível para o aluno é a fusão da ação do homem prático na medição e o pensamento matemático, a fusão entre a geometria e a aritmética. (Aleksandrov, 1994). Para tornar visível ao aluno a fusão da ação do homem prático na medição e do pensamento matemático entendemos que é necessária uma ação intencional na sala de aula, onde a abordagem indireta da história da matemática poderá ser o caminho metodológico da matemática escolar.

Para que o ensino de matemática tenha uma dimensão diferente daquela proporcionada quando ensinamos apenas o saber fazer, é necessário evitar o equívoco de escolher entre o saber fazer e o saber pensar. Um não exclui o outro, devem compor um movimento combinado e amplo do conhecimento matemático.

As quantidades não aparecem distintas dos outros atributos das coisas do mundo real, quem as distingue somos nós, no exato momento que separamos a qualidade que necessitamos de todas as outras que existem no Universo. O pastor de ovelhas só se preocupou em controlar a qualidade peso, quando passou a observar essa qualidade isoladamente de todas as outras que existem no mundo real. O faraó do Egito só se preocupou em controlar os comprimentos dos terrenos quando essa qualidade passou a interferir no recolhimento dos impostos. O agir no controle de determinada qualidade implica em controlar sua quantidade. Para o controle quantitativo é necessário perceber que

Na impossibilidade de abraçar, num único golpe, a totalidade do Universo, o observador recorta, destaca, dessa totalidade, um conjunto de seres e factos, abstraindo de todos os outros que com eles estão relacionados. A um tal conjunto daremos o nome de isolado; um isolado é, portanto, uma secção da realidade, nela recortada arbitrariamente, é claro que o próprio facto de tomar um isolado comporta um erro inicial – afastamento de todo o resto da realidade ambiente, - erro que necessariamente se vai reflectir nos resultados do estudo.(Caraça, 1984:112).

Para agir no controle de quantidades, é necessário também desenvolver técnicas. Dificilmente o aluno tem oportunidade de praticar o descobrimento das técnicas de contagens, pois as palavras e símbolos sempre o atropelam uma vez que já aprende a contar através da musicalidade do “um, dois, três, etc.”. Portanto, recriar o exercício da prática de contagens é essencial para que nele se descubra os acertos e erros que existem nessa ação. A prática do erro é o que nos leva a perceber o esgotamento de um conhecimento, são as situações não previstas no nosso conhecimento anterior que favorecem o surgimento que Caraça diz ser um inesperado,

Que quer dizer – inesperado? Que o isolado não fora convenientemente determinado, que um factor dominante estava ignorado e se revela agora. Será preciso acrescentar que no aparecimento do inesperado reside um dos motivos principais do progresso no conhecimento da realidade, porque, obrigando a uma melhor determinação do isolado, exige um mais cuidadoso exame das condições iniciais. Muitas vezes, o estudo encaminha-se de modo que há necessidade de tomar um isolado como elemento constitutivo de um outro mais largo. (ibid)

Parece-nos que o elemento da prática de contagens, discretas e contínuas, pelo método concreto, isto é, no próprio objeto, se configura como elemento fundamental para o estabelecimento do isolado, o recorte de um “pedaço” do Universo, para nele percebermos as regularidades de determinado movimento real.

As tentativas de rompimento com a naturalização das coisas, isto é, com a contagem do aspecto discreto das quantidades, como a quantidade de pessoas, árvores, frutas etc., indica a necessidade de estabelecer um isolado (Caraça, 1984). Neste isolado encontramos uma situação inesperada, as coisas que não estão naturalmente organizadas de um em um. Contar quantas árvores estão em determinado espaço não é da mesma natureza que contar a altura das árvores, ou o peso de determinado animal, ou a água de um jarro, pois esses novos aspectos não se apresentam separados por uma quantidade variável de atmosfera. Mas o número que temos só conta o aspecto já separado naturalmente. Este seria um dos momentos de ruptura com a idéia matemática até então estabelecida, os números naturais, que só avança com a criação de um novo campo numérico, os racionais.

Este avanço não é imediato, não é linear, não é decorrência do esgotamento de uma idéia numérica estabelecida a partir dos números naturais para uma nova idéia numérica mais ampla, os números racionais. Essa revolução traz hesitações, dúvidas e retrocessos que aparentemente indicam uma estagnação no pensamento matemático.

Identificamos aqui o domínio do pensamento do homem prático com o seu saber fazer dominando o saber pensar. Momento no qual o que fazer domina o como pensar, apontado por Lima (1994) como uma etapa de desequilíbrio. O pensamento do homem prático, enquanto repetição pura e simples, pode levá-lo a soluções equivocadas, como negar a subdivisão de sua escala de medida, negando a fração. Opta por colocar acréscimos a ela como o uso combinado de várias unidades de medidas: braças, palmos e polegadas. Utilizam essa combinação como se uma medida fosse subdivisão da outra, o que elas não são. (Hogben, 1958)

A construção do Campo Racional consiste na compreensão e resolução do problema da medida. O que é medir? É comparar duas grandezas da mesma espécie - dois comprimentos, dois pesos, dois volumes, etc... Ou simplesmente responder:... quantas vezes cabe um comprimento noutro?, mas para respondê-la é preciso existir um termo de comparação único para todas as grandezas de uma mesma espécie. (Caraça, 1984:29).

Não basta simplesmente lançar a pergunta para os alunos sem correr o risco de dirigí-los mecanicamente a uma encruzilhada onde o excesso de verbalismo, falar sobre, não implica compreender a ação de medição como participante da idéia de fração. Procuramos pelos itinerários que estruturem as idéias para que o rompimento com a contagem utilizando os números naturais se torne possível e visível, ao aluno. E, assim, a constituir uma linguagem própria para descrever a qualidade das coisas, inerente à linguagem das palavras, que represente a sua quantificação que é a especificidade da linguagem numérica.

A idéia e a linguagem numérica fracionária não se formam apenas pelo símbolo . Baseada apenas no símbolo fracionário tornam-se invisíveis as relações de fusão entre as ações do homem prático e o pensamento do homem matemático. (Aleksandrov 1994; Caraça, 1984 e Hogben, 1958).

Hogben (1958) indica como pode ter acontecido o processo de necessidade do controle de do aspecto não organizado naturalmente das quantidades, o contínuo, gerador do conceito de fração.

Os primeiros homens que procuraram medir áreas não estavam interessados em explorar o subsolo; sim em saber quantos grãos poderiam semear em seus campos, quantos poderiam colher, ou quantas ovelhas e reses pôr a pastar. Foi apenas quando tiveram de construir cercados para proteger seus rebanhos, vinhas e templos (...) que depararam com um novo problema. (...) A área, a dimensão que interessa aos semeadores. O volume, a dimensão que interessa aos que trocam leite e vinho. O intelectual grego não percebia a relatividade que existia entre a dimensão e a utilização social. (Hogben,1958:124)

Entendemos que a relatividade existente entre a dimensão e a utilização social como um dos componentes da ruptura com o aspecto discreto das quantidades. Por meio da abordagem indireta da história da matemática é possível estabelecer na sala de aula a experiência de medição a ser praticada no próprio objeto, isto é, no terreno para o controle da sua largura e do seu comprimento. Possibilitando ao aluno identificar e distinguir as regularidades desse movimento, descobrir e assimilar suas relações e estabelecer leis de caráter geral no sentido de Aleksandrov (1994).

Para os números naturais, Aleksandrov (1994:25) indica que o movimento no objeto concreto combinado com a linguagem das palavras compõe a linguagem matemática. O numeral abstrato “cinco” ou “vinte” é uma propriedade abstraída da coleção concreta e considerada simplesmente em si mesma, igual a negrura ou dureza. Os símbolos numéricos, como “5” ou “20”, aparecem quando a necessidade de comunicar o controle de quantidades a outros se intensifica e as palavras representam obstáculos.


Linguagem das palavras Linguagem numérica
Mão: “tantos como os dedos de uma mão” Numeral abstrato = “5”


Podemos considerar esse movimento para o campo das frações. Ao realizarmos a divisão da unidade de medida repetidas vezes, por exemplo, em cinco partes iguais e usarmos duas dessas partes, podemos considerar os movimentos:


 

Como proposta de ensino de matemática, em particular, para o campo numérico dos racionais, a formação do conceito de fração, considerando a abordagem indireta da história da matemática (Schubring, 1997), poderia discutir os movimentos a seguir:

Primeiro movimento, observação do mundo real, cotidiano, para distinção e análise das qualidades discretas e contínuas. Isto é, identificar dentre todos os elementos do nosso mundo qual é o contexto que estamos escolhendo para analisar. Catalani (2000) considera que ao considerar qualidades devemos pensar no contexto em que se situa o destaque dessa qualidade, uma vez que para Caraça (1984) as qualidades de um ser, objeto ou fenômeno não existem no próprio ser, objeto ou fenômeno. São relações orientadas pelas possíveis interpretações que se possam fazer do mesmo ser, objeto ou fenômeno.

Segundo movimento, estabelecimento do isolado (Caraça, 1984) para o controle do aspecto contínuo das quantidades. De todos os controles quantitativos possíveis de serem pensados pelo homem no universo, estamos isolando apenas aqueles que significam o controle do aspecto contínuo das quantidades, como comprimento, peso, volume, etc.

Terceiro movimento, o inesperado (Caraça, 1984). Ao exercer o controle do aspecto contínuo das quantidades com os números naturais surge uma inadequação, um erro. Não é possível controlar a quantidade de terra de determinado espaço com os números naturais (Hogben, 1958). Como saber o que é 1 terra, 2 terras, etc? Ou 1 água, 2 águas, ...?. Surge o inesperado, quando o isolado não fora convenientemente determinado, que um factor dominante estava ignorado e se revela agora. (Caraça, 1984:112). Entendemos que o aluno pode se localizar no movimento do conceito e estabelecer novas conexões com a experiência que se apresenta.

Quarto movimento, a percepção de um problema novo para o qual ainda não tem solução. (Lima, 1993). Ao errar na sua ação de controlar quantidades contínuas utilizando os números antigos, os naturais, o aluno percebe a inadequação da resposta e fica pressionado diante dessa r inadequação.

Quinto movimento, a criação de um novo número, a fração. A experiência dessa nova ação, controlar o aspecto contínuo das quantidades no objeto, inúmeras vezes, tem a intenção de colocar o aluno frente a um problema novo, inesperado. É necessário mobilizar sua intuição e todo seu conhecimento até então acumulado para criar um novo conceito, que na verdade, se constituirá como uma ampliação e aprofundamento do conceito anterior. (Lima, 1993). Identificamos este movimento como o de criação no qual ocorrerá a ruptura com a discretização das coisas (Caraça, 1984), (Hogben, 1958), (Aleksandrov, 1994). O novo número “conta“ quantidades não separadas naturalmente por uma quantidade considerável de espaço, como as ovelhas, frutas, etc.

Sexto movimento, a reordenação lógica do pensamento. As novas idéias numéricas, a fração, denominam como (re)criação do conceito número natural. Essa nova idéia tem uma nova dimensão, aquela que o número natural não abrange, o controle do aspecto contínuo das quantidades. E como conseqüência vai implicar numa revisão de todos os aspectos da vida que serão repensados a partir da nova lógica criada. Temos aqui a reordenação lógica do pensamento, isto é, dos planos de ação, que serão enriquecidos com a utilização do novo conceito. (Lima, 1993).

Entendemos que se o aluno vivenciar na sala de aula os movimentos descritos acima, estaremos possibilitando a identificação de regularidades, a descoberta de relações e o estabelecimento de leis de caráter geral (Aleksandrov, 1994). Vivenciar as fases de ruptura com os conhecimentos anteriores, tornando visíveis as relações entre a ação do homem prático e do homem matemático, permite o movimento de criação da linguagem das grandezas. Em tal desenvolvimento o aluno poderá expressar a linguagem das grandezas, inicialmente através das palavras, recriando-a em uma linguagem simbólica, ainda provisória, e posteriormente comparando-a com a linguagem matemática atual. (Hogben, 1958), (Aleksandrov, 1994).

Este amplo movimento de criação de conceitos matemáticos com elementos da história da matemática abordados indiretamente, ao ser vivenciado pelo aluno em um trabalho que permite sua criatividade na sala de aula, possibilita a compreensão do processo de formação geral do conceito matemático ampliando sua leitura de mundo.

Bibliografia:

ALEKSANDROV. A. D., KOLMOGOROV, A. N., LAURENTIEV, M. A. Y OTROS. 1994.. La matemática: su contenido, métodos y significado. 10ª ed. Versíon española de Manuel López Rodríguez, Madrid, Alianza Editorial.

CARAÇA, BENTO DE JESUS. 1984. Conceitos Fundamentais de Matemática, 1ª Edição, Lisboa, Livraria Sá da Costa Editora.

CATALANI, ÉRICA TOLEDO. 2002. Uma análise dos processos dos alunos em atividades fundamentadas pelo enfoque histórico-conceitual. Dissertação (Mestrado em Educação – Educação Matemática) - Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

CHILDE, V. Gordon. 1975. A evolução cultural do homem, 3ª ed., trad. Waltensir Dutra, Rio de Janeiro, Zahar Editores.

HOGBEN, Lancelot. 1958. Maravilhas da Matemática, trad. Paulo M. da Silva, Roberto Bins e Henrique C. Pfeifer, Rio de Janeiro, Editora Globo.

LIMA, Luciano. 1996. Da mecânica do pensamento ao pensamento emancipado da mecânica, São Paulo, 9 p. Mimeo.

LIMA, Luciano. 1993. Da aprendizagem da ação a aprendizagem científica, como o homem inventou e desenvolveu a educação, São Paulo, CETEAC.

LIMA, Luciano, MOISÉS, Roberto P. 1998. A fração: repartindo o universo. São Paulo, CETEAC.

SCHUBRING, Gert. 1997.Relações entre a história e o ensino da matemática, Anais 2º Encontro Luso-Brasileiro de História da Matemática e 2º Seminário Nacional de História da Matemática, Águas de São Pedro, São Paulo.

 
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