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  COMUNICANDO IDÉIAS MATEMÁTICAS ATRAVÉS DE EXPLORAÇÕES E INVESTIGAÇÕES DAS AULAS NA EJA

Adriana Aparecida Molina

Introdução

Vivemos num mundo que apresenta espantosos avanços tais como a tecnologia, a ciência, a ampliação da propagação dos ideais neoliberais de internacionalização e transnacionalização da economia, que culminaram com a criação de sociedades unificadas comercialmente e que, ao mesmo tempo, trazem contradições e conseqüências, como o desemprego estrutural, a fome, a desigualdade social, a miséria, o fortalecimento do xenofobismo, a privatização, miséria, a desintegração e a anulação da identidade dos indivíduos. Por outro lado, em decorrência dos avanços tecnológicos e a criação de grandes sistemas de rede, a produção e circulação de informação têm alcançado níveis nunca antes imaginados; daí a última década do século XX ser denominada por alguns teóricos de ‘Sociedade da Informação’. Mas essa informação necessita ser sistematizada, organizada de forma analítica e crítica, precisa gerar conhecimento. Assim, há o entendimento de que estamos na transição da sociedade de “informação” para a do “conhecimento”. E nessa sociedade do conhecimento a educação é central e a escola é apontada como a única instituição capaz de transformar informação em conhecimento.

Presenciamos, hoje, um momento histórico, onde profundas reflexões se fazem sobre o destino da humanidade, dos recursos naturais e do próprio planeta. Reflexões trazidas pelas dimensões éticas, culturais, ambientais, sociais, culturais e políticas, que nos fazem repensar o papel da escola, assim como, mais especificamente, o significado da matemática escolar, do saber ensinar matemática, do ser professor e do ser / estar aluno.

Para tanto, se faz necessário procurar possibilidades que propiciem mudanças nos processos de ensino e de aprendizagem, no sentido de adequá-lo à realidade existente numa era de tecnologias, comunicações e informatizações. Desse modo, a motivação para a constituição dessa pesquisa está centrada na necessidade de se dar voz aos alunos, criando contextos em sala de aula nos quais estes possam se expressar oralmente e por escrito, suas opiniões e formas de pensar matematicamente.

Percebe-se nesse inicio de milênio que o ensino reprodutivista, mnemônico não é mais viável, apesar desse tipo de prática ainda existir em muitas escolas brasileiras, faz-se necessário desenvolver uma educação voltada à construção do conhecimento, através de um ambiente prazeroso, crítico e participativo.

Entendemos que esses contextos devam ser criados em qualquer nível de escolaridade. Identificamos na atual sociedade um amplo universo de pessoas que buscam a escolarização com idade mais avançada e procuram a Educação de Jovens e Adultos (EJA), cujo espectro abrange um âmbito de múltiplas especificidades e singularidades desde desemprego, subalternidade, condições físicas e emocionais. Mas que, sobretudo, voltam à escola para aprenderem e buscarem, talvez, uma melhor qualidade de vida. Para alunos com esse perfil, há que se pensar que Matemática deve ser ensinada e, sobretudo, como criar contextos nos quais estes alunos jovens e adultos tenham voz e sejam ouvidos.

Assim sendo, o objetivo desse estudo é investigar situações que possibilitem as comunicações de idéias matemáticas em contexto de aulas investigativas. Para tanto, foram desenvolvidas atividades desse cunho numa 1ª Etapa na Educação de Jovens e Adultos (EJA), antiga 5ª série, do ensino fundamental da rede pública do município de Itatiba, no estado de São Paulo, numa sala híbrida de 40 alunos, com idades variadas, indo desde 17 anos até 70 anos, com um interesse de: contribuir para que alunos e a própria professora desenvolvam progressivamente seus pensamentos, estratégias e raciocínios matemáticos por meio da oralidade, da escrita e das interações entre alunos - alunos e professora - alunos.

Dessa forma, esse trabalho visa verificar e analisar: o conteúdo do diálogo na interação professores/alunos e alunos/alunos produzidos em contextos de aulas exploratórias - investigativas; os saberes gerados pelas aulas investigativas de conteúdos matemáticos para professora - pesquisadora e para os alunos; os processos utilizados pela professora-pesquisadora e pelo aluno para fundamentar e legitimar o trabalho investigativo; as contribuições das aulas investigativas para produzir a argumentação matemática no professor e no aluno; e como os alunos significam e pensam sobre esse processo.

Espera-se, com este trabalho, criar possibilidades para que o professor venha a contribuir na transformação da escola em ambiente de aprendizagem mútua e contínua, tanto de alunos como de professores.

Pretende-se, ainda, analisar as inter-relações que os jovens e adultos fazem entre o aprender matemática e o seu contexto socioeconômico, político e cultural local, presentes nos registros das estratégias matemáticas.

Desse modo, pensamos em analisar os registros de estratégias e raciocínios utilizados em contextos de resolução de problemas e/ou trabalho com tarefas exploratórias e investigativas na aula de Matemática como um instrumento de voz para esses alunos.

No que diz respeito a salas regulares existem muitas experiências que mostram ser possível reverter o modelo de prática pautado na transmissão de conhecimentos e fazer os alunos se sentirem motivados e desafiados a participarem das aulas quando esses passam a ter um papel mais ativo, têm voz e são ouvidos; no entanto, há poucos trabalhos relacionados à EJA.

Nesse sentido consideramos de fundamental importância o trabalho exploratório-investigativo nas aulas de matemática, com vistas a possibilitar a criação e explicitação de estratégias de resolução, principalmente, para esse grupo socioculturalmente marcado pela exclusão social e educacional.

No grupo no qual esta pesquisa está sendo realizada identificamos que, aproximadamente, metade dos educandos é proveniente de outros estados e em sua grande maioria fazem mais de quinze anos que deixaram de estudar por impedimentos diversos: desde trabalho e até condições físicas e emocionais. Desse modo, são sujeitos que necessitam de métodos de ensino não infantilizados, que privilegiem seus modos de pensar.

Não se trata somente de propiciar a aprendizagem de ferramentas conceituais que operem no interior da matemática acadêmica ou de gerar interfaces com as demais metodologias, ciências, ou tecnologias, mas de garantir o processo de democratização da educação, principalmente, para a EJA.

Essa metodologia de explorar e investigar tarefas matemáticas tem gênese no conhecimento que passa pelo viés do construir e do criar, onde aluno e professor interagem numa troca de experiências na construção do saber. Um saber que está em constate processo de significação, mudança e ressignificação; não mais estático, mas totalmente dinâmico, propiciando a formação de um espaço de aprendizagem prazeroso, alegre, estimulante e desafiador, onde o aluno e o professor participem desse movimento, como agentes construtores e transformadores.

Mas o que seriam as tarefas exploratórias e investigativas?

Atualmente, o docente da área de matemática necessita de novos processos metodológicos para motivar o aluno, pois o mesmo chega à escola com sobrecarga de informações, com atitudes e características já formadas pelo seu cotidiano. As atividades de exploração e investigação podem auxiliar no rompimento da barreira de exclusão social vivenciada pelos alunos da EJA, pois esse tipo de experiência matemática não privilegia somente a minoria favorecida socialmente, mas a aprendizagem matemática de todos e não apenas da socialmente favorecida, sendo mesmo uma forma de conferir poder epistemológico à generalidade dos alunos (ERNEST, 1996).

Desse modo, a escola deve garantir aos alunos uma formação matemática básica, levando-os a adquirir a capacidade e o gosto de pensar matematicamente. É preciso que os alunos ressignifiquem sua experiência escolar tornando-a gratificante e a metodologia de resolução de problemas, mais especificamente o processo das tarefas exploratória-investigativas, pode conseguir esse objetivo.

Esse processo consiste no desenvolvimento da capacidade dos alunos utilizarem os processos próprios da investigação de um matemático, ou seja, em generalizar, estudar casos particulares, modelar, simbolizar, comunicar, analisar, explorar, conjecturar e provar suas hipóteses; a fim de valorizar a aquisição de conhecimentos, aptidões, atitudes e valores, ao mesmo tempo em que privilegiam metodologias de ensino centradas no aluno, indicam que aprender Matemática deve ir além da aprendizagem de conceitos, procedimentos e das suas aplicações.

Este tipo de atividade enfatiza a idéia de contínua construção do conhecimento pelo aluno e professor conjuntamente, promovida por questões formuladas de forma aberta que visam desenvolver a curiosidade e a comunicação, além do pensamento matemático e estratégico.

Ponte (2003, p. 9) afirma que “investigar não representa obrigatoriamente trabalhar com problemas difíceis. Significa, pelo contrário, trabalhar com questões que nos interpelam e que se apresentam no início de modo confuso, mas que procuramos clarificar e estudar de modo organizado”.

Com base nas pesquisas dos grupos portugueses pode-se dizer que as aulas investigativas criam a base de sustentação para o desenvolvimento do processo indutivo e analógico em matemática, ou seja, um processo no qual se formulam questões cuja resolução explora a criatividade, a imaginação, os pensamentos matemáticos e estratégicos, os processos de trabalho, a comunicação oral e escrita, sendo sua resposta obtida de forma fundamentada e rigorosa.

A tarefa nessa perspectiva é categorizada por começar com problemas cujos objetivos são poucos precisos que vão sendo estruturados progressivamente no decorrer da atividade, e por envolver processos como conduzir experiências, formular hipóteses, verificar regularidades, testar e aperfeiçoar conjecturas e procurar prová-las quando temos razões para achar que são verdadeiras (PONTE e MATOS, 1996).

Uma atividade também se torna exploratória quando os alunos exploram diferentes conceitos matemáticos e suas propriedades, promovendo o desenvolvimento de capacidades importantes nos educandos, sendo a mesma “baseada na inquirição, dando ênfase ao papel dos alunos em atividades de formulação de problemas e de tomadas de decisões acerca de seu próprio trabalho” (FONSECA e ABRANTES, 1999, p. 183) e investigativa quando passar a ser uma “atividade desafiadora e estimulante”, com sentido e significado para o estudante, sendo que seu foco está nos processos matemáticos desenvolvidos pelos educandos tais como “procurar regularidades, formular, testar, justificar e provar conjecturas, refletir e generalizar” (OLIVEIRA, SEGURADO E PONTE, 1999, p. 176).

As aulas que perspectivam esse tipo de atividade destacam o trabalho em grupo, entre docente e discentes, nas quais são propostas tarefas exploratórias e investigativas em que os alunos organizam dados, formulam questões, levantam conjecturas e as testam.

E isso pode ser realizado através da observação, intuição e manipulação das atividades manuais, com as quais se procura verificar regularidades, estabelecer estratégias, conexões e idéias para solucioná-las, favorecendo, assim, a elaboração de hipóteses, o reconhecimento do processo de raciocínio matemático, a comunicação oral, escrita e a argumentação necessária para justificar o procedimento utilizado na prova das conjecturas.

Esse tipo de trabalho contribui para a formação do raciocínio e do pensamento matemático; a comunicação, explicitação e argumentação de idéias / estratégias procedimentais; justificativas e provas para companheiros de sala e para o professor; bem como na análise refletida sobre a perspectiva de investigação matemática para a formação e desenvolvimento profissional do docente.

Comunicação de idéias nas aulas de matemática

Na época atual confere-se atenção à comunicação como sendo essencial à vida dos seres humanos em comunidade, tendo especial destaque o contexto educativo, no qual ensinar e aprender são atos que envolvem agentes comunicativos, que são os professores e os alunos.

Com esse intento, os Standards (NCTM, p. 7) enfatizam que o aluno deve “aprender comunicar e a raciocinar matematicamente”, buscando promover capacidades individuais para explorar, conjecturar, refinar e consolidar as idéias de seu pensamento matemático, bem como usar métodos e procedimentos na resolução de problemas, visando desenvolver o “poder matemático”.

Já os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) traz como objetivo geral da matemática para o Ensino Fundamental desenvolver no educando capacidade de “comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas” (Brasil, 1997, p. 51).

Nesse contexto a comunicação é o meio através do qual se ensina e aprende, e ao mesmo tempo a finalidade desse mesmo ensino visto que, se presume que os alunos desenvolvam no decorrer de sua escolaridade competências comunicativas. No caso da Matemática, competências que unificam a resolução de problemas e a investigação ao pensamento e ao raciocínio matemático.

Para o senso comum, a matemática é tida como ciência cuja linguagem é dotada de normas e regras, e seu conceito é expresso por signos com significados, de maneira a permitir a comunicação de forma precisa, clara, simplificada e econômica, com o intuito de descrever ou modelar situações e comunicar tanto descrições como idéias concretas e abstratas.

No entanto, a matemática é usada através do mundo nas diferentes sociedades e culturas, quer sejam agrárias ou industrializadas e, falar sobre as questões matemáticas não é ter independência da linguagem natural usada pelas diferentes pessoas.

Na verdade, a linguagem materna falada e escrita se inter-relaciona com a linguagem matemática como numa eterna dança de casais que se completam, integram, interagem, relacionam, comunicam e convivem num ambiente que é hibrido e diversificado, repletos de momentos em que há tensão, conflitos e de outros, que harmoniosos, mas sempre numa perpétua dinamicidade.

Assim sendo, a linguagem desempenha um papel importantíssimo nas práticas diárias de professores e alunos, já que ela é uma realidade central e dominante nas escolas, além de ser fundamental nos discursos da aula de Matemática, principalmente na de contexto investigativo, o qual advém da relevância que a linguagem assume na interação comunicativa e no desenvolvimento das atividades em sala de aula.

Da mesma forma, refletir sobre a comunicação na aula de Matemática parece ser tanto interesse dos professores que revelam ter uma enorme vontade de aprofundá-la como para a própria prática de investigação, sendo que neste âmbito, o professor e aluno desempenham papéis fulcrais nas situações de ensino-aprendizagem, tais como:

- Professor: atitude e postura investigativa, ser curioso; recordar conceitos já estudados; indicar sugestões mutuamente contraditórias aos alunos; moderar, orientar e estimular a comunicação entre alunos-alunos e alunos-professor; promover a pesquisa; organizar a discussão das idéias / estratégias e escolher o melhor momento para a sua realização; ajudar nas socializações das discussões e das conclusões sobre as “descobertas” dos alunos; valorizar tanto as “descobertas” mais interessantes como as mais modestas; incentivar os trabalhos investigativos dos alunos; ser capaz de pensar sobre o próprio pensamento matemático; e, refletir sobre a tarefa.
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- Aluno: expressar seus interesses e idéias; participar ativamente da atividade, ouvir, explicitar e se comunicar com seus colegas e o professor; trabalhar em grupo de forma produtiva; precisa ter conhecimento matemático; trabalhar com curiosidade e criatividade; exprimir as estratégias encontradas no decorrer e final da proposta para o grupo, demais alunos e professor; bem como, o ambiente investigativo deve ajudar o aluno a crescer emocionalmente e a desenvolver habilidades e capacidades de paciência, perseverança, autoconfiança e autodomínio.
-


Oliveira (2000, p. 239) concebe o ambiente investigativo da aula de matemática como um “espaço epistemológico forte”, no qual pressupõe “a sua concepção como um espaço pessoal, relacional, comunicacional e investigacional favorável à produção de conhecimento novo”.

Desse modo, esse estudo se centrará na interação com os alunos na aula de Matemática, tendo como foco a linguagem e a comunicação oral e escrita no contexto de aulas exploratória - investigativa com intuito de desenvolver conhecimentos.

Dois grupos, dois casos de investigação na aula de matemática.

Nessa presente pesquisa procura-se caracterizar as formas de comunicação no decurso da realização de tarefas exploratório-investigativas feita através da observação das aulas, servindo de base para perceber o modo como o aluno concebe e se envolve em tais tarefas, assim como os registros orais e escritos produzidos durante a realização das tarefas identificam os conhecimentos adquiridos.

Desse modo a sala foi divida em grupos de quatro alunos, nos quais cada um tinha uma função específica, ou seja, havia o redator, o relator, o cronometrista e o coordenador.

Para tanto, propus a essa sala da EJA uma investigação no triângulo de Pascal, com intento de habituar a turma a procurar investigar e explorar desafios, bem como de estimular a comunicação idéias / estratégias e formas de pensamento matemático.

Na tarefa sugerida, os alunos deveriam levantar hipóteses acerca da disposição dos números no triângulo, procurar encontrar regularidades, testá-las e averiguá-las, reformular hipóteses quando necessário, e provar as conjecturas tanto oralmente quanto escrito. E, para a resolução da tarefa os grupos tiveram, aproximadamente, 2 horas/aulas, e mais 10 minutos de apresentação das conclusões obtidas.

 

Caso - Grupo da S. C.

Esse grupo foi composto por três senhoras e um rapaz, L. de 31 anos, M. P. de 36 anos, S. C. de 66 anos um jovem D. de 17 anos.

Essa equipe, particularmente, atribuiu um enorme significado à escola e ao seu papel de formadora, entretanto, apresenta enormes dificuldades para expressar-se com clareza as suas idéias tanto oralmente como por escrito.

Todavia, apesar dessas dificuldades, é um grupo unido, esforçado e extremamente curioso, que procura ultrapassar as barreiras da exclusão, interessam-se freqüentemente por assuntos que são abordados nas aulas.

Destaca-se nessa equipe a Sra. S. C. que é muito alegre, vivaz e contagiante, adora falar dos netos, mora em Itatiba há 35 anos, parou de estudar a 53 anos e retornou este ano, freqüenta a EJA a aproximadamente quatro meses, e “lava e passa roupas para sobreviver” (fala de S. C.).

Essa senhora é uma pessoa que “acha muito complicado entender esse monte de números, não gosta muito de matemática, mas sabe que ela é importante” (S. C.), e apresenta enormes dificuldades em expressar com clareza as suas idéias tanto oralmente como por escrito, mas se empolgou esse ano quando retornou a escola, deparou-se com um tipo de “aula um pouco diferente” para os padrões normais, uma aula em que apareciam tarefas um tanto quanto inusitadas, na qual ela “própria tinha que pensar”, eram as atividades de exploração e investigação com que trabalhou pela primeira vez.

A tarefa “Triângulo de Pascal”

A proposta de investigação “Triângulo de Pascal” foi bem recebida pelo grupo da S. C., pois consideravam que a mesma atividade era importante “para o conteúdo e para falarmos o que é que pensamos” (fala de L.). Foi uma tarefa que a equipe considerou ter tido algumas dificuldades e queixaram-se também da falta de tempo.

No decorrer da tarefa de investigação que se desenvolveu lentamente pelo fato de haver uma grande preocupação em esboçar e testar as conjecturas que levantavam, verificou-se certa divergência de opiniões e discussão de idéias.

A primeira questão da tarefa levantada foi: o que o grupo teria que fazer no triângulo, quais operações poderiam ser usadas, como fazer isso? Nesse ponto, a Sra. S. C. levantou a seguinte hipótese:

Chegamos a conclusão que fazendo algumas contas com pontos próximos, somando os número 1 da lateral vai dar o número 2.

Essa primeira conjectura foi rejeitada pelos seus colegas de grupo que afirmavam que ela estava errada, então ela foi falando oralmente:

- Veja, olha, esse (1) mais esse (1) dá esse debaixo (2), tá vendo?

- É mesmo!

-Olha! (ela foi mostrando na figura)

1

 

 

1

1

 

1

2

1


 

O grupo foi observando que a soma do elemento da primeira linha e coluna com o elemento da segunda linha e coluna, obtinha como resposta o elemento da terceira linha e segunda coluna, e assim foram verificando sucessivamente.


Os dois primeiros números da lateral dá o números invertidos, também temos a tabuada do 1 e do 2 usando os dois primeiros números da lateral e alguns do meio.

Em seguida, o grupo passou a examinar que a segunda coluna era a tabuada do número um e que salteando os números (um sim e outro não) era possível obter também a tabuada dos dois.

Além disso, averiguaram que as duas primeiras colunas davam o mesmo número que a primeira e segunda coluna inclinada, só que de maneira invertida, e isso foi mostrado através da experimentação com intuito de confirmar sua veracidade, no que chamaram de “seqüência lógica” (fala de M. P.). O registro dessa observação foi feito na própria tabela do triângulo indicando com setas suas conclusões.

Para todas as hipóteses que o grupo suscitou foram realizados esboços ou gráficos para comprovar a veracidade das regularidades com as quais tinham se deparado. Interessante notar que no decorrer da atividade alguns integrantes se envolveram muito mais que outros; neste caso, o destaque ficou para a Sra. S. C..

Uma situação bastante complexa para a equipe foi o registro escrito das atividades, pois oralmente era muito mais simples explicar ou explicitar as idéias formadas e testadas pelo grupo; entretanto, no momento de registrar, o que parecia óbvio, não o era tanto assim.

O tempo também foi um vilão, pois esse tipo de tarefa exige que se explorem conjecturas, testem-nas, (re) elaborem-nas, busquem outras estratégias e procedimentos para o problema. Por isso, o registro e a apresentação ficaram para a aula posterior, que seria dali a três dias.

Na aula seguinte, a apresentação iniciou-se tranqüilamente, porém, com muita ansiedade, expectativa e vergonha. A equipe ficou acanhada por ter que comunicar oralmente e explicar para a sala as idéias que tinham conseguido encontrar.

L. - Olha, eu vou lá na frente, mas não falo nada. Não vou abrir a boca.

M. P. - Eu também não vou! Eu não consigo!

S. C. - Ah, o sem vergonha do D. faltou, só por que ele iria apresentar! Ah! Deixa ele comigo na segunda (segunda-feira, a próxima aula), ele vai ver só! Daqui que falo!

O rapaz do grupo acabou faltando da apresentação, na qual ele seria o relator da experiência, pois estava com vergonha de expor para a turma a conclusão, essa justificativa foi dada pelo mesmo numa outra ocasião em que relatou ter sentido ser “incapaz de falar pra um mundo de gente, eu já tentei (ele deu a entender que já havia apresentado trabalhos em outras situações), mas não consigo, eu travo”. Essa pequena fala desse aluno mostra como pode ser frustrante o peso de conseguir se comunicar oralmente, e pior ainda, a mágoa por não ter correspondido outras vezes ao desempenho que era esperado dele, bem como a “ineficácia entediante ou violentadora das estratégias de ensino perpetradas ali” (FONSECA, 2002, p. 33).

Retornando a socialização do grupo, a Sra. S. C. apresentou as conclusões e ainda trouxe algumas outras as quais ela individualmente tinha encontrado.

S. C. - Adriana [professora], bem, eu achei uma outra coisinha no triângulo, mas fiz sozinha, ninguém me ajudou, eu fiquei quebrando a cabeça em casa.

Professora - Então mostra pra gente S. C.

S. C. - Oh, na primeira linha não dá, tem que começar na segunda, faz assim esse (mostra a primeira coluna) menos esse aqui (mostra a segunda coluna) dá zero.

Professora - Ah, legal! E o que mais?

S. C. - Espera aí. Veja esse (número da terceira linha e segunda coluna) menos esse (número da terceira linha e primeira coluna) menos (número da terceira linha e terceira coluna) dá zero. Esse também, olha só, esse menos esse, menos esse, menos esse, menos esse dá zero (confusão na sala).

Aluna da sala - Quê? Volta de novo, não to entendendo.

S. C. - É fácil, veja, esse menos esse, menos esse, menos esse, menos esse, dá zero, sempre dá zero.

Nesse ponto, a partir da sexta linha até a professora-pesquisadora estava confusa e procurava entender o raciocínio de S. C.

Professora - Fala de novo S. C., volta que eu me perdi.

S. C. - Oh, faz assim começa desse, tá? Aí, faz esse menos esse, menos esse, menos esse, menos esse, menos esse, menos esse, menos esse que dá zero!

Explicitando o raciocínio de S. C. ela quis dizer que:

Para S. C. conseguir fazer “sozinha” esse estudo do triângulo foi como quebrar uma barreira da negação enquanto ser social e escolarizado, quando venceu o obstáculo e provou para si própria que era capaz de conseguir; essa senhora adquiriu mais autoconfiança e estímulo para continuar a atividade.

Veja que idéias exploradas na aula de investigação e em sua discussão contribuíram para a aprendizagem tanto individual quanto da turma e o esforço de buscar explorar regularidades fizeram desencadear a procura de algumas justificações para aquele processo.

Para esse grupo o trabalho cooperativo trouxe muitas vantagens dado que partiram trabalhando conjuntamente, discutiam as conjecturas e hipóteses, reorganizavam o pensamento, acatavam sugestões, testavam-nas, redirecionavam o trabalho, tanto foi importante ter iniciado a atividade em grupo que a Sra. S. C. passou indiretamente a coordenar o grupo e exprimir-se com mais confiança e facilidade, apresentando até outras idéias que havia obtido individualmente.

No entanto, o relatório entregue pelo grupo no final da aula de investigação, não mostrou todo o trabalho realizado, dado que não retratou algumas das conjecturas formuladas e das idéias exploradas na aula de investigação e de discussão.

Na análise verificou-se que o desempenho do grupo S. C. na exploração e na investigação dessa tarefa pautaram dois momentos distintos. Num primeiro momento, na procura, na formulação e no teste das conjecturas através da experimentação e das discussões de idéias com os colegas. Já no segundo, dedicou-se à elaboração de esboços e dos registros do trabalho, salientando o esforço e a dificuldade na execução do relatório, visto que, raramente, os alunos organizam registros de suas idéias numa aula de matemática.

Caso II - Grupo do A.

Essa equipe tem uma característica interessante, é formada por um senhor A. de 28 anos, uma jovem E.D. de 24 anos e uma senhora M.J.de 37 anos, que se uniram para essa atividade, porque “não gostam de matemática e que a acham um bicho de sete cabeças” (E. D.).

São alunos que apesar de não gostarem de matemática adoram ciências e português, tem facilidade com a oralidade e a escrita, com exceção de E. D. que é muito tímida e silenciosa, mas todos são extremamente esforçados e participativos.

A tarefa “Triângulo de Pascal”

A atividade do “Triângulo de Pascal” foi recebida com certo receio pelo grupo de A., pois como não gostam de matemática consideravam que teriam muitas dificuldades e que não saberiam solucionar o problema.

A tarefa de investigação se desenvolveu vagarosamente, pois a equipe tinha a preocupação de registrar tudo que era conjecturado, seja através de esboços, desenhos ou mesmo da escrita. Para tanto, eles enumeraram as colunas e linhas, com intento de facilitar a localização no triângulo.

 

A primeira questão levantada foi o porquê e como a professora colocava o triângulo de Pascal na lousa e não usava nenhum livro para verificar se os números estavam corretos ou na devida posição. Interessante perceber que nessa observação eles já começaram a notar que deveria haver alguma regularidade na composição do triângulo e na disposição dos números.


Diferentemente do grupo de S. C., a equipe de A. começou a investigação por aquilo que o grupo mais gostava, ou seja, a parte de ciências. Eles conversaram com a professora dessa disciplina para ver onde encontrar algo sobre Pascal. Isso impulsionou a curiosidade para provar a veracidade das hipóteses de regularidades do triângulo e mesmo para registrar as discussões que ocorriam no grupo.

Vale atentar que, como A. gosta muito de pesquisar, escrever, fazer experiências com sucatas, testar equipamentos elétricos e eletrônicos, tocar violino, conversar e relatar casos e situações, ele se sentiu motivado para procurar a bibliografia de Blaise Pascal fora do contexto de aula e relatar para a sala no dia da apresentação sua pesquisa.

O presente grupo organizou se registro mostrando desde as descobertas mais elementares quanto as mais complexas. Veja:

 

Quando o grupo falou sobre “seqüência lógica” da segunda coluna quis dizer à disposição dos números numa ordem crescente.

Também foram levantadas hipóteses de realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão utilizando os números do triângulo; para isso, eles foram buscar regularidades e testá-las. Logo no primeiro momento, ocorreram algumas divergências no grupo, pois M. J. e E. D. tentavam fazer subtrações entre as colunas e viam “ser impossível, tirar do número menor o número maior e que isso não existe” (palavras de M.J.), por isso chamaram a professora Adriana para resolver a situação.

A professora procurou resolver esse impasse explicando rapidamente a existência de números negativos e que seria possível efetuar essa subtração; para isso recorreu a exemplos de situações que envolvem manipulação de dinheiro para tentar explicitar melhor a dúvida das alunas.

Uma outra conjectura levantada por A. era a afirmação de que a soma das linhas sempre dava números pares e múltiplos.

Com base na hipótese do número múltiplo, A. levantou outra conjectura que inicialmente foi rejeitada pelas suas colegas de grupo, na qual esses números eram múltiplos de dois, assim sendo A., procurou prová-la oralmente.

A. - Veja essa linha, 1 mais 1 dá 2. Oh (mostra a terceira linha), esse (1) mais esse (2) mais esse (1) é 4. Olha essa (quarta linha), 1 mais 3 mais 3 mais 1dá 8.

E. D. - É mesmo.

M.J. - Olha aqui (mostra a sétima linha), essa dá 32, não tem esse número na tabuada do 2.

A. - Você esqueceu o que professora falou, a tabuada não terminar no dez, é infinita, veja se eu pego 13 e faça vezes 2 é 26 e é múltiplo.

M.J. - Mas o 32?

A. - É 2 vezes 16 e o outro (soma da próxima linha) é 64, que é 2 x 32.

M. J. - Verdade.

Pode-se ver neste diálogo a importância do trabalho coletivo, em que um elemento da equipe tenta provar a veracidade de suas conclusões e, ao mesmo tempo, auxilia a colega a compreender a condição de múltiplo de algum número.

O grupo de A. foi o único que registrou uma observação, apesar de todos os grupos levantarem-na no decorrer da execução da tarefa, que era a condição dos números se repetirem na mesma linha, porém em posições diferentes. Além disso, vale observar o quão preciso foi a organização do esboço da conjectura e a forma utilizada para fazer o leitor entender sua inferência nesse registro.

 

Assim como no caso anterior, esse também teve como limitador o tempo e não sendo possível terminar de testar todas as hipóteses que o grupo havia indagado, o registro e a apresentação ficaram para a aula posterior.

No dia da socialização das idéias levantadas pelo grupo, todos apresentaram sem nenhuma dificuldade e tranqüilamente responderam as dúvidas e questões que a professora e os demais alunos da turma.

No entanto, A. trouxe outras conclusões, com as quais havia se deparado em sua casa, para mostrar para a sala. Observando a soma das linhas, o referido aluno, deduziu tratar-se de uma potenciação.

 

Também, nessa equipe houve o diferencial de um aluno tomar para si a iniciativa de continuar a investigação individualmente.

Após uma análise da tarefa “Triângulo de Pascal” pode-se observar que o processo matemático utilizado durante o trabalho investigativo, leva-nos a dizer que se trata de uma atividade que propicia tanto o trabalho em grupo quando individual, sendo ambos significativos para o educando.

Na situação proposta alguns grupos se aventuram na procura de interessantes caminhos variados; também, foi nesse momento que ocorreu uma maior discussão sobre processos de justificação e tentativas de provas se evidenciaram.

O trabalho individual parece ter constituído uma influência positiva para alguns alunos, como S. C. e A., contudo, o trabalho em grupo também ajudou aos educandos a se relacionarem uns com os outros, contribuindo assim para ultrapassar a barreira do individualismo, que geralmente impregnam as salas da EJA.

Ao longo da tarefa foi notório o aparecimento de idéias originais, como por parte S. C. e A. No entanto, essas tinham tendência a surgir em períodos de trabalho mais isolado, quer durante a realização da tarefa em sala ou após um trabalho de investigação fora da aula; e muitas dessas idéias tiveram implicações no trabalho dos colegas, dado serem aproveitadas pela professora para desafiá-los durante o processo de discussões. Outras idéias surgiram em outros grupos, mas, a maioria deles não deu continuidade alegando serem complicadas e não terem tempo para realizar a tarefa.

As aulas de discussão contribuíram para dar uma oportunidade dos alunos exporem suas opiniões, dar-lhes voz para explicitar seus entendimentos e discuti-las; porém, essas ocorreram de forma reduzida, visto que para muitos expor-se nas apresentações era muito complicado devido à baixa auto-estima e a desvalorização que tinham de si mesmo.

A articulação das aulas de caráter exploratório-investigativo foi algo inusitado, os alunos se sentiram motivados e desafiados a participarem das aulas quando eles passam a ter um papel mais ativo, quando tiveram voz e foram ouvidos, mesmo quando são alunos da EJA. Entretanto, não foi possível atingir a todos, mas a maioria dos alunos rompeu as barreiras das dificuldades e tiveram prazer em trabalhar a matemática pela matemática, não importando a idade.

Considerações finais

Grande parte da população fica à margem do mundo dos números e muitos homens são impedidos de se constituírem enquanto sujeitos, devido ao movimento de exclusão social. Nesse impasse, a escola tem um papel de construir uma sociedade democrática ultrapassando a dimensão técnica do ensinar letras, números, palavras, as regras, frases e fórmulas, para tanto há que se (re) considerar a sutileza de mecanismos que constituem a escola.

Deve-se também considerar que as dificuldades com as quais a escola se depara hoje é o clímax de um processo histórico e de uma confluência de tempos e de espaços repletos de contradições, tensões e conflitos que estão presentes na sala de aula em todo momento.

Hoje a linguagem e a comunicação têm um papel fundante nos contextos éticos, culturais, econômicos, sociais e políticos e o saber ler, escrever, contar, raciocinar, resolver problemas é imprescindível para essa sociedade do conhecimento.

Quando nos referimos ao conhecimento, a sociedade deve engajar-se na tarefa de garantir o acesso ao ensino de qualidade a todos que desejam conhecer e aprender saberes acumulados historicamente pela humanidade e favorecer a educação do seu povo.

Desse modo, a escola deve ter uma concepção de ensino que contribua de fato para a formação crítica dos cidadãos e que respeite a identidade de cada sujeito, sejam eles crianças ou adultos.

A sala de aula deve se constituir num espaço em que vozes são ouvidas e respeitadas, principalmente quando se trabalha com a EJA, e a educação não deve ser somente para uma “educação de classe” (VENTURA, 2002, p. 11), nos quais a educação assume características em função dos contornos e demandas do capital e do mercado, realizando-se sob diversas formas e modalidades, de acordo com as exigências de capacitação.

Na verdade, a aula deve ter tanto significados ou sentidos sociais quanto didáticos, pedagógicos e epistemológicos, levando o aluno a inferir idéias e construir, como patrimônio próprio, cosmo visões do meio social, da vida, das relações pessoais, das formas de poder, da civilização, e mais, atribuir sentido e significado plurais à aplicação das informações e reconhecimentos retidos na vida.

Desse modo e, mais especificamente, a Matemática não pode ser somente descrita e concebida nos termos dos seus conceitos, propriedades e regularidades, mas precisa-se dar também espaço para sua história e práticas, visando à reflexão do ensinar e aprender que estão diretamente relacionadas tanto as questões internas quanto externas, visto que a sua concepção tem origem histórica e os contextos sociais inter-relacionam na produção desse conhecimento.

O valor dado à matemática enquanto ciência e aplicabilidade à realidade são inquestionáveis, pois ela está presente em todas as partes do mundo conceptual e sócio-histórico-cultural que são reguladas por leis estáveis, sendo que não há como negar que o domínio da matemática concede status aos sujeitos que a compreendem e conseguem manipulá-la.

A atividade matemática é discutida como parte integrante da cultura humana em geral; e ensinar a pensar matematicamente e aprender a explicitar idéias fazem parte do contexto de sala de aula, para tanto se faz imprescindível à comunicação tanto oral quanto escrita, sendo importantíssimo todas as áreas do conhecimento desenvolver competências comunicativas. E, aprender a comunicar idéias e pensamentos matemáticos está presente nas aulas exploratórias e investigativas.

O contexto das tarefas exploratórias e investigativas proporciona multiplicidades de possibilidades que merecem considerações, indo desde promover o desenvolvimento de capacidades como generalizar, estudar casos particulares, modelar, simbolizar, comunicar, analisar, explorar, conjecturar e provar suas hipóteses, até a valorização das descobertas mais simples e das mais originais.

Este tipo de atividade enfatiza a idéia de contínua (co) construção do conhecimento produzido pela interação entre aluno-aluno e aluno-professor, bem como a comunicação do pensamento matemático e estratégico para a resolução da atividade, pois os alunos aprendem a analisar e se auto-colocarem em condições de resolução de problemas com intuito de satisfazer sua realização pessoal.

Além do mais, as investigações desenvolvem habilidades que permitem ao educando aprender criativamente, em uma nova situação; assim como de trazer para primeiro plano o contexto social da turma e as relações de poder que perpassam a sala de aula.

Aprender verdadeiramente exige muita força de vontade, busca pelo conhecimento, momentos de reflexão. Assim como está implícito e explícito no ensino da Matemática a idéia de que saber matemática é, sobretudo fazer Matemática, do mesmo modo considera-se que para aprender Matemática de maneira significativa deve se ter em foco as múltiplas vertentes e espectros disciplinares tanto específicos quanto globais.

Referências Bibliográficas

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC / SEF, 1997, 142 p.

ERNEST, Paul. Investigações, Resolução de Problemas e Pedagogia. In P. Abrantes, L. C. Leal, & J. P. Ponte (orgs.), Investigar para aprender matemática. Lisboa: Projecto MPT e APM, 1996, p. 25-48.

FONSECA, Maria da Conceição F. R. Educação Matemática de Jovens e Adultos. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.

FONSECA, Helena; ABRANTES, Paulo. Investigações em Geometria Realizadas pelos Alunos. In P. Abrantes, L. Brunheira, H. Fonseca & J. P. Ponte (orgs). Investigações matemática na aula e no currículo. Lisboa: Projecto MPT e APM, 1999, p. 183-188.

LOPES, Antônio J. Gestão de Interações e Produção de Conhecimento Matemático em um Ambiente de Inspiração Lakatosiana. Educação Matemática em Revista. Revista de Sociedade Brasileira de Educação Matemática. São Paulo. Ano 6. n° 7 julho de 1999, p. 17-26.

 
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