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  O CONCEITO DE NÚMERO NATURAL ENQUANTO LINGUAGEM A PARTIR DE EPISÓDIOS DE SALA DE AULA.

Dulce Maria Britto Abreu (Doutoranda da FE-UNICAMP; Professora da PMSP)
Anna Regina Lanner de Moura (Professora Doutora Orientadora da FE-UNICAMP)

Na sala de aula de uma escola municipal de São Paulo, adultos e jovens, estudantes em processo inicial de alfabetização, em atividades interativas de ensino e pesquisa, quando envolvidos pela necessidade de explicar a um ser extra-terrestre, “o que é número” manifestaram a noção de número através de expressões como: tem que contar prá ter a noção de quanto tem, ...se não contar não vai existir número.

Para eles, o número surge da ação de contar como resultado desta ação. Contar só é possível pela sequência de nomes dos numerais hindu-arábicos atribuídos aos elementos de uma série. Segundo o aluno Jô, número é a contagem de qualquer coisa que se conta. Sem nomear ordenando não vai existir número.

Jô manifesta: se contar um, um, um, um, não vai dar nada, só vai dar um. Parece referir-se a contagem por correspondência um-a-um, mas ao acrescentar que “só vai dar um”, mostra estar referindo-se a número como aquele que resulta da nomeação dos elementos de um conjunto de modo que o último nome informa a quantidade de elementos do conjunto. O fato de a contagem pela correspondência um-a-um não evidenciar a ordinalidade numérica, poderia explicar a sua afirmação de que tal procedimento não resultaria “número“ algum, sendo que na enunciação de uma seqüência ordenada este aspecto é perceptível. A correspondência um-a-um não é reconhecida, por Jô, como uma possibilidade de controle da quantidade. Parece existir, para ele, apenas um modo de controlar - pelo numeral atual. Não explicita qualquer relação com subconceitos que compõem esse conceito atual, as idéias subjacentes a esse conceito, a de equiparação entre conjuntos, a de agrupamento ou de inclusão hierárquica. Manifesta somente o aspecto utilitário do número na sua forma atual. É o “saber- fazer” e a lógica do uso. Neste aspecto não chega a abordar nem a lógica destas idéias.

Como os significados que constrói do número estão restritos ao uso do número envolvendo ações do cotidiano, é provável que número só tenha explicação pela ação de contar coisas, pessoas, acontecimentos, valores. Desta forma só existe na sua aplicação, acompanhado da qualidade que quantifica, número de mesas, número do arroz, número de tempo. Como se conta singularmente cada objeto atribuindo-lhes um numeral da seqüência ordenada, número é esta seqüência. Sua explicação fica ao nível de como fazer para “numeralizar” a quantidade, atribuindo nomes para saber o último nome, como uma ferramenta que deste modo funciona.

Outros alunos da mesma turma explicaram como uma imagem, mental ou visual, do numeral: tem que abrir a boca e vir na mente...prá ver se lê a quantidade. A expressão numérica é o que manifestam do conhecimento. Parece que, ao se falar de número, os alunos buscam em suas experiências a imagem do símbolo que, na verdade, é um marco tangível para o conceito de número abstrato.

O número, como resultado da medição do tempo, do peso e do volume, foi reconhecido por eles como aquele que informa a quantidade sem identificarem a qualidade que está sendo quantificada, nem a unidade de medida. A imagem do “número”, sendo a mesma, 1 hora, 1 quilo, 1 litro, 1 vidro, naturaliza grandeza e unidade e não diferencia os aspectos contínuo e descontínuo da realidade. Para a aluna Fá, 1 litro assume o mesmo significado que 1 quilo, ambos reconhecidos pela sua utilidade no controle da quantidade para consumo. Parece que isto se deve também ao fato de o resultado de ambas as medições se expressar pelos mesmos símbolos, os numerais lidos são os mesmos. A aluna está enfocando o símbolo gráfico sem consciência do fato de ser uma unidade criada pelo homem. Fá, assim como Jô, sem compreenderem o que deu origem aos numerais que vêem escritos nas embalagens, acabaram dando um significado para esses “rótulos”, pelo uso diário, após erros e acertos. O número impresso na embalagem assume um significado de uso. Se não estiver impresso, podemos supor que a única maneira de avaliar a “quantidade” será pela sensação de grandeza, pela percepção visual. Não apresentarão outro modo mais preciso para avaliar.

Evidentemente, a resposta à pergunta O que é número? dependerá da pessoa a quem for dirigida. Uma professora de Artes respondeu que “número é um símbolo que usamos para representar quantidades”. Percebemos em sua definição ênfase no aspecto simbólico do número. Pois é justamente a linguagem simbólica que confere uma “estrutura tangível” ao conceito matemático abstrato e um meio particularmente simples de realizar operações com ele (Aleksandrov et alii, 1988:29). O número não é o símbolo, mas se materializa nele como manifestação do pensamento. Representado por uma linguagem simbólica - o numeral - abstrai e traduz o mundo no seu aspecto quantitativo. Como explica Aleksandrov, o conceito de número não pode ser exibido, mas somente concebido na mente. Mas o pensamento se formula na linguagem e isto faz com que sem nomes não possa haver conceitos. O símbolo é também um nome exceto que não é oral mas escrito e se apresenta à mente em forma de uma imagem visível.

A definição feita pela professora mostra a importância dada a uma grande conquista humana - a linguagem numérica. O aspecto tangível do conceito permitiu caracterizar quantidades inimagináveis e operacionalizar o cálculo de forma quase mecânica. Por outro lado, mostra uma noção de número estática, pronta e acabada, distante das qualidades das quais foi atributo.

O número, na sua forma constituída, é síntese; ao mesmo tempo, pela facilidade de manuseio e aplicação, não deixa transparecer o processo histórico milenar de evolução do conceito e sua dimensão humana de criação. Conforme Lima, se a realidade objetiva é uma totalidade em movimento permanente, a compreensão que dela criamos é, também, um movimento (Lima, 1998: 94). O movimento do conceito de número, a partir das considerações de Lima, é a aproximação permanente do conhecimento humano sobre o movimento das variações quantitativas da realidade.

O hábito e o contato permanente com os numerais hindu-arábicos fazem, hoje, o número parecer um ente tangível tão natural que parece ser inato ao ser humano.

Explicam o número pela contagem, assim entendida, e a contagem pelo número. É como se surgisse magicamente da mente para auxiliar na contagem. O fato de não complementarem essa explicação abordando outros elementos do conceito mostra uma inconsciência que os leva a concluir que o número é resultado exclusivo da mente humana, uma idéia, conforme Caraça (1963), cômoda mas falsa. O autor nos chama atenção sobre isso ao se referir à idéia de número natural a qual não é resultado puro do pensamento, independentemente da experiência; os homens não adquiriram primeiro os números naturais para depois contarem; pelo contrário, os números naturais foram-se formando lentamente pela prática diária de contagens (Caraça, 1963: 4).

O conceito não pode ser exibido, somente concebido na mente (Aleksandrov et alii, 1988). É o símbolo escrito e sua oralidade, como numeral hindu-arábico, enquanto nome, enquanto linguagem, que permite o pensamento se formular. No entanto, quando os alunos reconhecem número no “tipo do arroz” sem abordarem o aspecto conceitual que o diferencia nessa utilização, mostram uma idéia de número em identidade com o respectivo símbolo atual, o número como sendo o “numeral” em si mesmo. O uso diário do número, apreendendo-o por sua forma, o numeral hindu-arábico, mediante o hábito de fazer corresponder uma expressão oral que sugere um conteúdo operacional ao correspondente numeral escrito, faz com que o aluno não se pergunte sobre a constituição numérica para além desse significado imediato.

O caráter genérico do conceito que permite, hoje, ser o mesmo na sua representação simbólica, o numeral hindu-arábico, independente da qualidade que está sendo numeralizada, inclusive, do fato de ser de natureza contínua ou discreta, é expressado pelos alunos quando dizem, por exemplo, que “tudo você conta”. Eles se utilizam desse resultado do conceito diariamente. Sabemos que, pelo sistema decimal atual, torna-se possível representar com os mesmos símbolos qualquer unidade natural e qualquer unidade artificial. O conceito atual é tão amplo que sua representação por si só não permite qualquer identificação dos aspectos qualitativos ou particulares do que está sendo numeralizado.

Os jovens e adultos pesquisados manifestam esse conhecimento como uma constatação empírica a partir do seu uso, seja a partir dos símbolos numéricos, referindo-se a horário, arroz, água, data, seja pela ação de contar alunos, dinheiro, objetos, animais ou dia do mês. No entanto, não manifestam reconhecer esse caráter abstrato e genérico do número, somente a sua eficiência de uso. O numeral está em tudo, perdendo-se o processo pelo qual se formou o número. Esse fato parece explicar sua inconsciência numérica como usuários que são do número.

É com o aspecto operacional do conceito atual de número que estão lidando, aquele que é possível de ser compreendido sem necessariamente ter de modificar-se para isto (Lima, 1994). Trata-se de uma abstração empírica que não exige participação ativa da subjetividade daquele que a faz. O resultado desse tipo de abstração não lhe traz elementos para ampliar a sua explicação sobre a realidade, no sentido de modificar o seu conceito numérico, na definição de conceito dada por Kopnin (1978), modificar a sua forma de apreender a essência dos fenômenos “sob o primado da explicação quantitativa” (Caraça, 1963). Essa compreensão numérica da realidade envolve a aprendizagem conceitual que discutimos na pesquisa.

O conhecimento numérico que possuem é utilitário e superficial contribuindo para uma visão ingênua, por exemplo, de que o domínio algorítmico possibilita não ser enganado em transações que envolvem dinheiro. Os alunos Carmem e Val estabelecem uma relação direta entre dois conceitos abstratos- número e dinheiro. O aspecto operacional de ambos possibilita controlar a quantidade de cédulas de dinheiro, sem necessariamente ter de compreender o significado numérico nem financeiro de tal ato. A respeito do dinheiro, Kosik (1976) comenta: Os homens usam o dinheiro e com ele fazem as transações mais complicadas, sem ao menos saberem, nem serem obrigados a saber, o que é o dinheiro. Por isso, a praxis utilitária imediata e o senso comum a ela correspondente colocam o homem em condições de orientar-se no mundo, de familiarizar-se com as coisas e manejá-las mas não proporcionam a compreensão das coisas e da realidade. (Kosik, 1976: 14).

Da mesma forma, o número, compreendido, apenas, no significado manifesto da sintaxe do símbolo, entendendo aqui por sintaxe as regras que constróem o numeral, permite sua utilização sem exigir, para isto, que se compreenda a totalidade do conceito numérico. Não é preciso compreender todo o seu significado matemático para usá-lo com eficiência. Freqüentemente, sobretudo na Educação de Adultos, essa eficiência é confundida com domínio do conceito de número.

Para nós, o domínio pelo uso consiste na apropriação do aspecto mecânico do número, da sua forma totalmente objetivada, independente das significações numéricas do sujeito que o usa e portanto não construído por ele. O exemplo dado por Val traduz a utilidade do número, para ele, numa transação comercial para não ser enganado. Se tivesse um conhecimento mais complexo aumentaria sua consciência no sentido de não se deixar enganar pelo outro numa relação de exploração mais geral. Provavelmente se os alunos entendessem o dinheiro enquanto medida questionariam o padrão de medida usado para o sistema monetário. Mas o dinheiro parece inquestionável sob sua representação numérica. É questionado somente num sentido - aquele tornado óbvio pelas transações do dia-a-dia, ou seja, ter mais dinheiro, ter trabalho para ter dinheiro, ter dinheiro para poder viver. Será que ao aprender número, aprendendo a operar com o salário, aprendendo a operar com compras, a operar com estoque, etc. , se estaria elaborando com nossa subjetividade/historicidade o conceito de número?

Os alunos manifestam sua noção de número como um instrumento manipulável, como se tivessem uma idéia pronta na mente, bastando evocá-la. Em nenhum momento relacionam com a sua subjetividade. O número parece mesmo não estar no pensamento como um conceito incorporado à intelectualidade. Sabem que é aplicável, é lógico-operacional, é algorítmico. Ao mesmo tempo, vem de dentro pela contagem, está no pensamento. Esta existência dual do número, tem, porém, uma qualidade comum, ele está pronto tanto no pensamento quanto fora dele. Ele não tem origem, nasce magicamente, tem existência em si mesmo. Os alunos demonstram saber o que devem fazer “prá saber a quantidade” mas não explicam o seu significado numérico, não pensam numericamente a realidade.

Propusemo-nos a considerar as experiências numéricas que o aluno já têm elaboradas em seu meio, não a partir de um levantamento prévio destas, mas possibilitando que se manifestem na elaboração dos diferentes níveis de abstração do número, cuja evolução nos é dada pela dinâmica da história do conceito. Entendemos que a partir do processo de elaboração desses níveis o aluno possa questionar, rever suas experiências numéricas sob o lastro cultural do uso do número. O conhecimento pelo uso do número nem sempre lhe permite (re)criar o pensamento numérico sob essa dimensão. A apropriação do número, em seu nível de máxima abstração, ou seja, na sua forma atual de elaboração, pode velar ou não dar acesso à atividade cultural própria das relações humanas que o criaram. Poderíamos dizer que quanto mais se acentua esse uso mecânico pela lógica operacional do número mais distante se está de pensá-lo, de intuí-lo criativamente, com a participação do sujeito “sócio-cultural-afetivo” que o intui.

Consideramos o conhecimento construído pelo exercício do número, para o qual os jovens ou adultos não precisam da escola, como um nível de conhecimento matemático que os qualifica como usuários do número. Usamos a conotação de usuário e consumidor como aquele que aplica o número para suas necessidades diárias sem ter consciência da dinâmica de sua construção ou seja, de sua forma de pensar a realidade. Sendo assim, não negamos esse tipo de conhecimento mas não partimos dele especificamente, ou seja, com a propriedade de um conhecimento cuja elaboração lhes tenha proporcionado uma participação enquanto ser cultural, criador de idéias numéricas, mas, apenas enquanto usuários, consumidores de um conhecimento historicamente construído pela humanidade. Partimos da subjetividade dos educandos o que abrange toda a experiência cultural dos mesmos. O conhecimento que o adulto e o jovem possuem entram nessa dimensão, como cultura, mas em termos do conceito de número que buscamos ele precisa ser ampliado, restabelecendo os nexos que compõem o conceito numérico enquanto movimento de aproximação da realidade.

Na escola, a pergunta sobre o que é número dificilmente surge por parte do aluno. Inserido numa sociedade cada vez mais mergulhada em números, ele não sente necessidade de fazer esse tipo de pergunta. Por um lado, porque seus primeiros contatos com a idéia de número, que se dá pelos numerais, acontecem desde muito cedo. Aprende, na infância, a reconhecê-los, e a distinguí-los, oral e visualmente, seja na convivência familiar, seja pelas relações no meio social em que vive, seja pelos meios de comunicação. Torna-se, desta forma, um usuário do número. O hábito e o contato permanente com os numerais tornam o número como um ente tangível e muito comum. Tão natural que parece ser inato ao ser humano. Por outro lado, na escola, a abordagem deste conceito não provoca a necessidade de uma reflexão a respeito do que é número. Com isto ela contribui para a perda inestimável da dimensão humana de sua construção. A escola privilegia a compreensão dos resultados aritméticos do conceito, seu aspecto lógico-formal e suas aplicações. Considerado assim, intrínseco ao ser humano, não há porque perguntar. Não é preciso pensar o conceito para utilizá-lo, basta saber manipulá-lo, utilizar-se de seus resultados. Não é preciso saber o que é para sobreviver. É preciso apenas saber usá-lo. Então, para que perguntar-se o que é número?

Aspectos da linguagem no conceito de número

A necessidade de lembrança, no desenvolvimento social, desencadeou, segundo Vigotski (1989), a criação e desenvolvimento de estímulos artificiais que se incorporam ao sistema nervoso humano,“que se tornam a causa imediata do comportamento”, o signo . Atar um nó pode evocar a lembrança de algo. O ser humano é o único animal capaz de criar e usar signos, como o nó, para interferir no próprio comportamento.

Foi a necessidade de auxiliar a memória que fez, segundo certos historiadores, homens e mulheres, na época neolítica, utilizarem pedras, gravetos ou montes de estrume para lembrar de todos os animais de criação que estivesse longe do seu campo de visão. Cada pedra evocava um determinado animal. (Talvez uma pedra menor evocasse um animal pequeno do rebanho; uma pedra escura, um na cor negra; etc.). A resignificação da pedra, uma elaboração acontecida somente na mente, sem alterar a situação dos animais, pastando ao longe, permitiu saber se ao voltarem, faltaria, ou não, algum animal. A atividade mediada pelo signo tornou possível administrar o aspecto quantitativo do grupo de animais sem a necessidade de imobilizá-los.

A origem da idéia de número encontra-se na necessidade de lembrar. Usaram-se pedras e outros objetos para “guardar” na memória um conjunto de coisas que dificilmente poderiam ser imobilizadas e guardadas junto de si. Como meio para lembrar de algo sem necessariamente tê-lo próximo, a pedra passa a significar a coisa.

O homem é o único animal cujo comportamento não é resultado apenas de estímulos ambientais (Vigotski;1989). Ele cria estímulos artificiais que agem sobre ele mesmo, controlam o seu próprio comportamento. Vigotski ressalta que essas invenções e seu uso, encontradas nos estágios mais primitivos do desenvolvimento histórico, são próprias do desenvolvimento social do homem, e trazem novas formas de processos psicológicos , enraizados na cultura.

A pedra torna-se pivô da separação do significado animal do animal real. A pedra, antes objeto inanimado faz o homem lembrar-se do bicho porque assim ele mesmo o quis. E sem modificar pedra ou animal, um elemento da linguagem é capaz de interferir no comportamento humano, o único ser que será tocado pelo signo. A pedra não se modifica nem o animal, mas o pensamento e as ações humanas, sim. É um signo e para ser numérico deve representar o aspecto quantitativo do conjunto.

Poderíamos deduzir que o controle da variação quantitativa tenha origem na representação direta. A partir do que Vigotski (1989:54) relata em suas experiências com crianças sobre a representação “eidética” no signo auxiliar, como processo elementar ainda anterior a uma operação completamente mediada, as pedras poderiam, inicialmente, nos primórdios da criação desta idéia, apresentar alguma característica semelhante à do animal representado de modo que elas lembrassem, em forma ou em cor, ou em algum aspecto observável, cada animal. A simbolização mediada seria posterior, depois de séculos.

Estudando crianças e as várias manifestações concretas da linguagem (a fala, o desenho, a escrita, os sistemas de números), o autor conclui que a linguagem, o uso de signos, é a atividade mediadora essencialmente humana que permite afastar-se da realidade imediata, “atuar” no campo das idéias, projetar, lembrar e modificar o próprio comportamento. O animal homem torna-se humano a partir da criação e uso de instrumentos, artifícios, simbólicos e da relação de trabalho com a natureza. A apropriação e o desenvolvimento de linguagem são decorrentes e provocadores do desenvolvimento do trabalho na natureza. A linguagem é o aspecto fundamentalmente humano então sua importância na educação e na educação escolar. Fazer-nos humanos significa desenvolver as funções psicológicas tipicamente humanas, as ditas superiores, mais complexas, que permitem modificar e controlar o comportamento, resolver problemas por meios não imediatos, imaginados antes, projetados e criando soluções “artificialmente”.

A linguagem não interfere diretamente no meio físico. Interferindo na forma de pensar a realidade e no comportamento permite desenvolver os meios artificiais que irão atuar no meio físico.

Episódio: Como controlar a quantidade de ovelhas?

Algumas cenas do episódio foram selecionadas para iniciarmos o estudo do conceito de número como linguagem. Será um exercício para nos auxiliar no desenvolvimento da pesquisa de doutorado.

O objetivo desta atividade é propor uma forma de controlar a variação de quantidade sem o uso do numeral hindu-arábico. A situação colocada para a classe é a respeito de um pastor primitivo que guardava ovelhas. Todas as manhãs, soltava as ovelhas para que pastassem e no final da tarde as recolhia no curral. Não sabendo contar pela forma atual, fazia uso apenas do senso numérico para controlar a variação da quantidade no rebanho. No entanto, o rebanho foi aumentando e o pastor foi percebendo que seu senso já não era mais suficiente para lhe "avisar" sobre a ausência de alguma ovelha ou a presença de uma nova. Diante desta situação, perguntamos à classe: “Como o pastor poderia fazer para saber se a quantidade de ovelhas que saem é a mesma na volta?”

Cena 1:

Professora: Pode falar, Erê.

Erê: Só uma palavrinha, só. Acho que ele carimbava com ferro, né, porque (é interrompido por nós)

Professora: Aí, ó, uma idéia dele: carimbar com ferro quente. Fogo tem, né?

Erê: É. Quem tem fazenda de gado, eles ferram com... com ferro quente.

Professora: Tá bom. Então vamos pensar isso daí: Como é que seria prá controlar, prá saber que a quantidade que saiu é a mesma que voltou, com ferro quente? Tá bom. Então o que é que você vai fazer?

Maria: Mas acho que mesmo com ferro quente ele não vai sanar ainda, né?

Erê: Vai.

Professora: Então explica. Fala. Fala como é que é, Maria. Explica um pouco.

Maria: Ele não vai saber.

Professora: Explica um pouco, né?

Maria: Porque ó: se ele não sabe contar, se o senso numérico não adianta, então como é que ele vai saber, mesmo marcado, quantos tinha, quantos saíram e quantos voltaram? Ele não vai saber!

Análise:

Erê propõe marcar as ovelhas com ferro quente para solucionar o problema. A marca nas ovelhas poderia evitar que alguém as levasse embora e também facilitaria a devolução de alguma ovelha perdida. Sabe-se que a marca é uma forma de identificar o proprietário do animal.

A marca está colada ao corpo do animal. Olhar para a marca pode evocar o proprietário do animal, mas não o animal. A marca é um signo mas não é numérico. Mesmo havendo uma correspondência biunívoca entre o conjunto de marcas e o conjunto de animais, ela não permite saber da variação quantitativa.

A prática de marcar os animais é muito comum e habitual dos criadores de animal. Erê demonstra conhecer esta prática e é a partir deste conhecimento que tenta solucionar o problema. Nesta situação, ele justapõe um conhecimento, não o reelabora adaptando-o ao problema. Sua idéia parece traduzir uma tentativa de evitar a perda, extinguindo-se a possibilidade de variação na quantidade de ovelhas e conseqüentemente, do surgimento do problema. No entanto, sabemos que a marca nas ovelhas não permite saber sobre possíveis ausências, por exemplo, por morte ou acidente, o que nos leva à questão colocada inicialmente pelo problema.

A proposta de Erê é refutada por Maria ao argumentar que se o pastor não sabe contar e "se o senso numérico não adianta", ele não vai saber, pelas marcas, "quantos tinha, quantos saíram e quantos voltaram". Maria reconhece a insuficiência do uso do senso numérico sem, no entanto, propor outra forma de controle da quantidade. Para ela, parece não existir outra forma que não seja contando pelo número do modo como ele se constitui hoje, o número atual. Sendo assim, sem o uso do número no seu estágio mais abstrato e sem o uso da sensação numérica, para ela, fica difícil saber como o pastor vai controlar a quantidade. Ela não propõe uma nova idéia de solução, mas recupera as condições em que se coloca o problema.

Cena 3:

Maria: Então! Pode colocar uma fitinha no pescoço! Em cada uma!

Professora: E daí? Cada fita...

Conceição: Cada fita é cada cor

Erê: em cada ovelha (continuando a frase da colega).

Professora: E aí? E aí se não vier alguma, como é que ele vai saber? Pode estar num buraco, né?

Conceição: Se vier alguma com alguma fita de uma cor...

Professora: Então, como é que ele vai saber que não veio?...

Conceição: Ai, Jesus!

Análise:

Maria manifesta uma idéia que havia sido sugerida pelo grupo em momento anterior ao episódio. Sugere colocar uma fita no pescoço de cada ovelha à que Conceição acrescenta, como sugestão, a idéia de atribuir cores diferentes para as fitas. Intervimos neste momento levantando a hipótese de não voltar uma ovelha , quando Conceição manifesta estar ainda imaginando a sua idéia na prática. Embora não tenha completado seu pensamento, é possível compreender que se trata de uma tentativa de controlar a variação de ovelhas e não, a variação da quantidade do rebanho, cores diferentes para ovelhas diferentes. Na verdade, o que faz com esta idéia é acrescentar mais um aspecto diferenciador à ovelha além de tantas outras próprias de seu fenotipo. A proposta original, de amarrar uma fita no pescoço de cada ovelha, também não soluciona o problema; permite, apenas, diferenciar as ovelhas deste rebanho de ovelhas de outros rebanhos que ocasionalmente possam surgir. Ao final da cena, Conceição diz: "Ai, Jesus!". Esta expressão é entendida por nós como manifestação de desassossego por ainda não ter encontrado uma solução para o problema.

Cena 4:

Cid: Professora, vem cá. Tudo bem que ele não sabe contar. E marcando? Cada um ...soltou uma, vamos supor

Professora: E marcando?...

Cid: Não dá prá descobrir se faltou, se não faltou?

Professora: Então! Não dá prá descobrir?...marcando?...

Cid: Marcar (inaudível) ela volta...certo? Dá, não dá?

Professora: É uma boa idéia.

Cid: Ôi?

Professora: É uma boa idéia.

Cid (mostrando a anotação feita no caderno): É, porque, se não me engano, ele vai marcando aqui, ó.

Professora: Olha aí, ó. Olha a idéia dele, ó, marcar no próprio pau, não é isso?. Marca no próprio pau. Como é a sua idéia? Como é que você chama?

Cid: Cid. Ó, ele marcou aqui, ó. Ele liberou a ovelha no pasto e marcou um aqui,ó. Libera mais uma, marca mais um, dão dois, né?, no pau. Então libera, libera, libera até ele liberar tudo. Ele marca tudo. Na volta ele sabe re... se...na hora que for de recolher, ele sabe se está...como é que está, pelos pau.

Professora: Como é que ele vai descobrir, na volta, se está faltando ou se tem a mesma quantidade?

Cid: É porque está marcado, no caso, né ? Então se, vamos supor, se ele for conferir a marcação e não tiver o total certo, sabe que está faltando!

Professora: Mas como é que... não, como é que vai ficar a marcação? E... na contagem dele, como é que vai ficar a marcação? Vai...vai faltar pauzinho?

Cid: Vai sobrar pauzinho.

Professora: Vai sobrar pauzinho.

Análise:

Cid propõe marcar em um pedaço de madeira. Isto significa fazer entalhes no cajado que o pastor usa para controlar as ovelhas. Sua fala: “(...) Tudo bem que ele não sabe contar (...)” parece indicar que sua proposta é de controlar a quantidade sem usar o numeral hindu-arábico:

Cid explica que, ao liberar uma ovelha para o pasto, o pastor deve marcar "no próprio pau", referindo-se ao sulco que poderia ser feito no próprio cajado utilizado pelo pastor. Então a cada ovelha que saísse para pastar ele faria uma marca no cajado. Ele associa um traço a cada ovelha, utilizando-se da idéia de correspondência biunívoca no seu sentido mais abstrato que estabelece a relação de equivalência entre os dois conjuntos. Um traço, que usualmente, não tem nenhuma relação com ovelha, está com ela relacionada como instrumento auxiliar de contagem. Cid confirma a sua idéia de fazer uma equiparação termo a termo entre os elementos dos 2 conjuntos, as ovelhas e as marcas no cajado, ao dizer: “(...) Então libera, libera, libera até ele liberar tudo. Ele marca tudo.(...)”. Depois esclarece que, para saber se voltaram todas, o pastor deve conferir com a marcação. O aluno supõe que “se não tiver o total certo”, o pastor saberá “que está faltando” ovelha, dando a entender que não havendo correspondência biunívoca, a relação de equivalência não se reestabelece entre os dois conjuntos anteriormente equivalentes, por dedução, haverá perda ou ganho de ovelha. Ele não explicita sobre a possibilidade de voltarem mais ovelhas do que aquelas que saíram. Parece que a “não-generalização” pode ter sido induzida pela professora quando, ao perguntar, não colocou todas as possibilidades. Mas supomos que este tipo de atividade proporcionou-lhe uma elaboração explicativa e lógica do pensamento de equivalência, o que não aconteceria se lhe fossem oportunizadas atividades de exercício numérico somente ao nível formal. De qualquer forma, o caso que expõe traduz coerência interna: se está faltando ovelha, vai sobrar “pauzinho”. A idéia de número no seu estágio inicial foi sugerida por Cid. O aluno manifesta a idéia de fazer de uma marca um numeral, um numeral- objeto. Trata- se de uma idéia bem situada nas condições do problema que o soluciona satisfatoriamente. Não podemos afirmar que tenha criado a idéia neste momento em que ocorre o episódio.

Cena 5:

Maria: Ó, Conceição, aqui está escrito que ele criou o próprio instrumento, né? Está aqui ó: “ele aprendeu, aprendeu a lidar com pedras e madeiras para cortar...cortar...”

Conceição: “E quebrar”.

Maria: “E quebrar. Inventou, então, seus próprios instrumentos de trabalho.”... Será que ele não marcou com uma pedra numa árvore, assim, fazendo risquinho? Pode ser também, né? Né, Erê? Será que...Aqui está escrito, ó, que ele criou seu próprio instrumento.

Iraci: Vamos supor, quando a ovelha saiu, ele pegou a pedra e marcou na árvore?

Maria: Então! Mas se ele não sabe contar!?

Iraci: Aí como é que faz?

Maria: Que ele criou o próprio instrumento dele, né? Então ele pegaria essa pedra aqui e marcava na árvore, né?

Aluna: (inaudível)

Aluna: (inaudível)

Maria: Compreendeu, Erê? Prá eles saberem se voltaram todas, eles foram junto! Né? Prá eles saberem se voltaram todas, acho que eles foram junto com elas, tá vendo? E esse negócio deles ir junto (inaudível). (Riu) Eu acho que prá eles saberem.... Professora!(chama- nos por estarmos conversando com outro grupo).... Eu acho que eles foram junto com as ovelhas.

Conceição: Então eles coloca um pau assim registrado na fitinha... na cabeça, né?... Né, Maria? Eles coloca um pau assim registrado na cabeça deles, (inaudível), né?

Erê: Eu acho que eles foram junto com elas, né?

Maria: Eu acho que eles foram junto.

Análise:

Esta cena acontece sem a nossa presença. Maria e o grupo estão lendo o texto distribuído a todos os alunos da classe onde se contextualiza o momento histórico do trabalho humano desencadeador deste tipo de problema de contagem. A aluna manifesta refletir sobre a idéia de Cid a partir das informações do texto sugerindo à colega fazer sulcos na árvore com uma pedra. Iraci dá continuidade à idéia explicitando a ação de fazer corresponder um sulco a cada ovelha que saísse para pastar, no entanto, não sustenta esta idéia quando a mesma é refutada por Maria. "Mas se ele não sabe contar!?", diz ela. Para a aluna, o controle pelas marcas não é suficiente para saber quantos animais saíram e quantos voltaram. Para ela, saber a quantidade, ou contar, somente é possível pelo número atual. Sua opinião parece ser compartilhada por todos do grupo, já que não se manifestam em contrário. Descartada a idéia inicial, Maria propõe "ir junto" das ovelhas. Supomos que a aluna esteja raciocinando que ao acompanhar as ovelhas, no pasto, é possível controlá-las pela visão de modo que qualquer modificação no rebanho possa ser percebido pelo pastor. Sua solução, na verdade, é de manter um controle qualitativo, pelo senso numérico com a qual Erê manifesta concordar.

A idéia sugerida por Conceição de fazer um traço na fita ou na cabeça de cada ovelha, parece ter surgido a partir da sugestão de Cid de fazer marcas no cajado. No entanto, diferentemente da proposta original, sua idéia se restringe ao controle de propriedade das ovelhas sem solucionar o problema de variação quantitativa no rebanho.

O que fica claro nas manifestações, nesta cena, é o fato de Maria, Erê, Conceição, nem mesmo Iraci, terem aceitado a proposta de Cid, ou seja, não interagem reelaborando significativamente a idéia de equivalência elaborada por Cid.

Ao analisar a história pré-científica do número que localizamos nos avanços da linguagem numérica em vista de maior eficiência às exigências da produção humana e do avanço comercial das diferentes épocas, vemos existir uma dinâmica de formação do conceito a qual passa por fases de abstração que absorvem todo o processo criativo da ação de contar a realidade externa ao homem. Dessa forma, o número torna-se um ente abstrato, despido das categorias de espaço e de tempo. Portanto, encerra-se nele a contradição de, por ser um ente abstrato, ter-se tornado intelectualmente versátil a ponto de responder a todas as necessidades numéricas do homem, hoje. Ao mesmo tempo, por esse motivo, constitui-se na negação do processo criativo que o construiu. Esta contradição, colocada numa sociedade calculista como a nossa, não se evidencia, como tal. Só um de seus movimentos é reforçado - o número versátil e facilmente manipulável - enquanto o outro aspecto, o de sua criação, é relegado à obscuridade, porque não se faz necessário à utilidade numérica.

Este trabalho nos mostrou que, se o ensino do número, para quem já tem deste um conhecimento de uso, considerar este como domínio numérico inicial para construir um conhecimento mais elaborado, pode estar acentuando o conhecimento mecânico inicial.

O ensino assim pressuposto estará subtraindo ao aluno, mesmo que não intencionalmente, sua capacidade de (re)criar o pensamento numérico que estará contribuindo para uma leitura mais dinâmica de mundo, diferenciada daquela que decorre de um domínio mecânico do conhecimento.

Referências bibliográficas

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