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  AS TAREFAS EXPLORATÓRIO-INVESTIGATIVAS POSSIBILITANDO A COMUNICAÇÃO DE IDÉIAS MATEMÁTICAS.

Mirian Tomazetto (Probaic/USF)
Adair Mendes Nacarato (Orientadora) USF

Contextualizando a temática de pesquisa

Muito se tem discutido sobre a forma como a Matemática deveria ser trabalhada em sala de aula da Educação Básica. No atual contexto, as discussões que permeiam as pesquisas na área, bem como, as discussões curriculares vêm apontando novas abordagens para o ensino de Matemática que, de certa forma, rompem com a visão tecnicista e mecanicista que marcou as décadas anteriores.

Nos últimos anos, a comunidade de educadores matemáticos vem se debruçando sobre novas formas de se produzir conhecimento em sala de aula. Em Portugal, por exemplo, desde o final da década de 1990, vem-se discutindo a competência matemática desejável para os alunos da escola básica, quais sejam:

predisposição e a aptidão para raciocinar matematicamente, isto é, para explorar as situações problemáticas, procurar regularidades, fazer e testar conjecturas, formular generalizações, pensar de maneira lógica; (...) a aptidão para discutir com outros e comunicar descobertas e idéias matemáticas através do uso de uma linguagem, escrita e oral, não ambígua e adequada à situação (ABRANTES, SERRAZINA e OLIVEIRA, 1999, p. 41).

O desenvolvimento de tais competências exige uma nova metodologia em sala de aula. Nesse sentido, uma nova modalidade de exploração da matemática escolar vem ganhando uma certa valorização. Trata-se das aulas investigativas, em que o aluno é colocado diante de tarefas que requerem a predisposição e a aptidão para raciocinar conforme destacado anteriormente. As tarefas de investigação matemática aproximam-se da resolução de problemas.

O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p.23).

No Brasil, existem algumas pesquisas e publicações que abordam essa temática de aulas investigativas. Nesse sentido, a presente pesquisa poderá trazer elementos para contribuir com essa discussão, além de contribuir para a discussão sobre a natureza do conhecimento matemático escolar – objeto da pesquisa mais ampla, na qual o presente estudo se insere.

Aulas investigativas são aquelas em que é proposto ao aluno se tornar um investigador, agir com mais proximidade de um matemático, onde lhe será necessário recorrer a conhecimentos prévios; portanto, é a aula em que a curiosidade deve ser despertada, sempre levando à autonomia do aluno.

Para definir melhor esse tipo de aula, alguns autores vêm classificando os diversos tipos de atividades (problemas, exercícios, exploração, investigação), entre atividades abertas ou fechadas e as acessíveis ou desafiantes. A atividade investigativa é aberta, ou seja, conhece-se o ponto de partida, a questão a ser desvendada, mas, o caminho que percorrerá e o seu final, não se conhece; mas, “no entanto, para além ser resolver o problema proposto, podemos fazer outras descobertas que, em alguns casos, se revelam tão ou mais importante que a solução do problema original” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p.17 ) e é desafiante, pois o aluno é motivado a utilizar suas estratégias e testar suas conjecturas.

Dentre os momentos de uma investigação matemática, os mais importantes são:

• Exploração: reconhecer a situação-problema, explorá-la e formular as primeiras questões;

• Conjecturas: organização dos dados e levantar as conjecturas;

• Testes: realizar os testes sobre as conjecturas para poder refiná-las;

• Justificação e avaliação: justificar a conjectura e avaliar os resultados do raciocínio.


Pode-se perceber que aulas assim são diferentes das aulas tradicionais; portanto, o papel do professor também se diferencia. As dificuldades são freqüentemente encontradas, pois o professor deve certificar-se que os alunos estão se desenvolvendo matematicamente e, em contrapartida, deve dar ao aluno autonomia para gerar a investigação. Então o professor deve: desafiar os alunos, avaliar o seu progresso, raciocinar matematicamente e apoiar o trabalho deles.

Também através de relatos-estudos, chega-se à conclusão dos conhecimentos produzidos pelos alunos: melhoram a capacidade de comunicação, observação, estabelecimento de relações, predisposições para testar e justificar, além do domínio de conceitos anteriormente conhecidos. Esses conhecimentos se tornam valorizados pelo aluno; assim, seu interesse também aumenta proporcionando-lhe segurança e autonomia, a capacidade de ler e interpretar a realidade.

Este trabalho insere-se numa pesquisa mais ampla que pretende responder a seguinte questão: “Que conhecimentos matemáticos são produzidos e mobilizados pelos alunos em contextos de aulas investigativas e em que medida essa dinâmica se aproxima da prática de investigação do matemático”

Os objetivos propostos para a pesquisa são:

1. Caracterizar a natureza das aulas investigativas, numa análise comparativa entre a investigação em matemática e a investigação em sala de aula.

2. Elaborar e aplicar algumas aulas investigativas na educação básica, com o objetivo de analisar as conjecturas postas pelos alunos, os processos de registro, de comunicação de idéias e de generalização.

3. Analisar as conexões que os alunos estabelecem entre os diferentes campos da Matemática.

4. Analisar o processo de formação docente frente ao uso de aulas investigativas.

Inicialmente foi realizado um estudo piloto, com objetivo de preparar, reconhecer erros e dúvidas sobre a tarefa propriamente dita. Esse estudo piloto consiste no mesmo que posteriormente foi aplicado à turma pesquisada.

O estudo piloto foi realizado conjuntamente com outras duas pesquisadoras, Adriana Molina Gomes e Cláudia Neves do M. F. de Lima, e suas atividades que também foram categorizadas como investigativas. As atividades foram realizadas em 30 de outubro de 2004, no Núcleo de Estudo e Pesquisas em Educação Matemática (NEPEM), Universidade São Francisco, campus de Itatiba/SP.

Trata-se do espaço denominado “Oficina Pedagógica”, que é oferecido pelo curso de Matemática da USF, para alunos da Licenciatura em Matemática e Professores da rede pública. A dinâmica para a realização das atividades consistiu em uma discussão inicial em grupos para a elaboração do registro e socialização das mesmas. Cada grupo continha quatro participantes, sendo dois desses grupos formados apenas de alunos da graduação e um grupo constituído de professores da rede municipal de Itatiba.

O meu estudo piloto e se constituiu em resolver uma situação problema envolvendo conceitos geométricos com vistas a uma generalização. A tarefa necessita de três dados e um conjunto de palitos cortados em comprimentos de um a seis unidades de medida. Lançam-se os três dados. Apanham-se os palitos com as medidas correspondentes. Verifica-se se os três palitos formam um triângulo. Os alunos deveriam registrar as jogadas e as observações que fizeram. E finalmente: escrever uma regra que permita afirmar quando três palitos formarão ou não um triângulo.

Ao final, nos grupos surgiram várias sugestões para mudança do material, como arame e canudinho plástico, assim como também a utilização de cores diversas, para diferenciar o tamanho do palito, pois para realizar várias jogadas era necessário reorganizar o material, acarretando perda de tempo, o contrário do que um material manipulativo deve oferecer: o dinamismo.

A pesquisa foi realizada junto a uma escola da rede municipal de ensino de Itatiba, EMEF Profª Sonia Rita Penteado Aguiar Santos, num total de 10 horas-aula, entre os meses de maio e junho de 2005. A classe onde foram realizadas as tarefas era da 6ª série do ensino fundamental, com alunos que têm idade entre 12 e 13 anos.

Contei com a colaboração do professor que, além de ceder sua classe para a realização do trabalho, colaborou na escolha das tarefas a serem realizadas.

Trata-se uma pesquisa de abordagem qualitativa, em que foram utilizados os seguintes instrumentos: a produção dos alunos, audiogravação das discussões nos grupos e no coletivo da classe, diário de campo da pesquisadora e conversas informais com o professor responsável pela turma.

É importante destacar que a primeira tarefa desenvolvida, foi a que já tinha sido realizada no estudo piloto, porém com as modificações sugeridas.

Desta forma selecionamos as outras duas tarefas:

Investigando seqüências: tendo como objetivo desenvolver habilidades numéricas através de seqüências com o auxílio da geometria e reconhecer regularidades para realizar generalizações para uma possível iniciação na álgebra. Está desenhado o início de uma seqüência de quadrados. O desafio é descobrir as próximas posições da seqüência. As propostas são: desenhe no papel milimetrado, até a 5ª posição; Existe outras maneiras se construir a seqüência? Se o grupo achou outra maneira, também a registre; Escolha a maneira que mais lhe agrada e escreva como seria a figura na 10ª posição; Escreva uma regra para qualquer posição da seqüência.

Um triângulo especial: tendo como objetivo reconhecer regularidades para realizar generalizações para uma possível iniciação na álgebra e identificar as propriedades do triângulo de Pascal. Consistindo em explicar como se obtêm os números de cada linha deste triângulo a partir dos números da linha anterior; escrever mais quatro linhas deste mesmo triângulo; adicionar os números de cada uma das linhas do triângulo especial,verificando o que observavam e se existiam outras propriedades no triângulo, e por fim para que escrevessem as propriedades encontrassem.

Entre os resultados que foram possíveis identificar, foi a constatação de que o envolvimento dos alunos em atividades investigativas é uma tarefa estimulante e altamente potencializadora da comunicação de idéias matemáticas.

A comunicação de idéias matemáticas em contextos de aulas investigativas

A dinâmica que se estabelece numa aula em que são propostas tarefas exploratório-investigativas envolve o professor e os alunos que desempenham papéis diversificados. É um processo múltiplo e muito exigente. O professor deve raciocinar matematicamente e, muitas vezes, de maneira rápida para estimular os alunos para que esses possam ultrapassar a barreira exploratório-investigativa.

As tarefas selecionadas para a pesquisa podem ser classificadas como exploratórias. Porém para alguns alunos se tornaram investigativas, pois se sentiram estimulados a continuar a investigar e provar suas conjecturas. E isso, em decorrência do processo de comunicação e de raciocínio que se estabeleceu na sala de aula.

Desde a década de 1980, a comunidade de educadores matemáticos vem dispensando um olhar para a questão da linguagem matemática em sala de aula e, em especial, para as formas de produção e apropriação dessa linguagem. Em 1986, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) publicou os Standards que acabaram se tornando referência para as reformas curriculares em diversos países, inclusive o Brasil, com a elaboração do Parâmetros Curriculares Nacionais. Esse documento destaca algumas aprendizagens imprescindíveis ao cidadão da atual sociedade; dentre elas, aprender a comunicar matematicamente.

O desenvolvimento da capacidade de um aluno para utilizar a matemática implica a aprendizagem dos sinais, símbolos e termos da matemática. O melhor modo de atingir este fim é através de situações problemáticas em que os alunos tenham oportunidade de ler, escrever e discutir ideias onde o uso da linguagem matemática se torne natural. Os alunos, ao comunicar as suas ideias, aprendem a clarificar, refinar e consolidar o seu pensamento matemático. (NORMAS, 1994, p. 7)

Uma aula pautada em tarefas investigativas propicia a comunicação de idéias pela dinâmica que se estabelece. Primeiro porque os alunos trabalham em pequenos grupos, nos quais eles precisam discutir a tarefa proposta, buscar alternativas de solução, levantar conjecturas, testar essas conjecturas e registrar os consensos do grupo. Nesse processo de “zig-zag”, os alunos estão se envolvendo com a comunicação de idéias matemáticas. No momento posterior, quando os diferentes subgrupos apresentam suas conclusões para a classe toda, novamente se instaura o processo de comunicação de idéias: o grupo tem que conseguir se fazer entender perante os colegas e o professor da turma E, finalmente, os alunos produzem o relatório do processo vivido. A escrita de um relatório é um processo moroso. Deve ser trabalhado lentamente, também envovendo um dos principais papéis do professor: o incentivo. Os alunos que se envolvem nas discussões, participação e escrita dos relatórios vão evoluindo na argumentação e escrita. Assim, a dinâmica de aulas investigativas possibilita diferentes tipos de comunicação, desde a oral até a escrita.

Será apresentado um fragmento de uma discussão num dos grupos da 6a série onde a pesquisa se desenvolveu, quando eles resolviam a tarefa sobre a condição de existência de um triângulo, com o objetivo de explicitar esse processo de comunicação de idéias:

A1: 4, 3 e 2, dão para formar o triângulo porque são números sucessivos, ficam um perto do outro. Os números 1, 1 e 1 forma o triângulo porque são números iguais, fica mais fácil de fazer. Os números 3, 4 e 5 eles formam o triângulo por que são números pertos, um do outro e os números 5, 2 e 1 eles não formam por que são afastados um do outro. O 1, 2 e 3, estão perto, professor. Mas não formam.

A2: Não entendi essa lógica!!! São perto mais não podem.

M : Então vamos entender a lógica deles?

A1: Eles são números sucessivos, perto um do outro, mas pelo tamanho dos pauzinhos, não dá para formar o triângulo, por que vai ficar um fora do outro.

A2: Continuei não entendendo, por que eles são próximos mas não dá.

Esse pequeno recorte do diálogo evidencia que o aluno A1 já estava bastante próximo da propriedade da desigualdade triangular (em um triângulo, um lado qualquer tem ser menor que a soma dos outros dois ou maior que a diferença entre eles), mas não conseguia convencer A2 de seu raciocínio, talvez em decorrência da inadequação da linguagem matemática que chega a causar estranheza no colega (‘está perto mas não pode’, ‘eles são próximos mas não dá’). Provavelmente A1 já tinha percebido, no caso do 5, 2 e 1 que não é possível construir um triângulo (‘eles não formam por que são afastados um do outro’) porque a diferença entre 5 e 2 é muito maior que 1 (ou mesmo a diferença entre 5 e 1 é maior que 2) – é a imagem do ‘afastado’. É interessante observar que nas condições da tarefa, em que os alunos só podiam usar medidas de 1 a 6, dentre as conjecturas de A1 sobre os números consecutivos, só não é válida para os números 1, 2 e 3.

Nesse sentido, as Normas (1994, p. 93) sinalizam:

O processo de comunicação exige que os alunos se ponham de acordo em relação ao significado das palavras e que reconheçam a importância crucial de definições aceites por todos. As oportunidades para explicar, fazer conjecturas, e defender as suas próprias ideias, oralmente e por escrito, podem estimular uma compreensão mais profunda de conceitos e princípios.

No diálogo acima também é perceptível a conexão que esses alunos foram desenvolvendo dos diferentes campos da Matemática: a aritmética, a lógica e a geometria. Quando um dos alunos diz que não entendeu “a lógica” do outro, é de seu conhecimento que a Matemática tem uma estrutura que respeita sempre uma seqüência lógica.

Outro aspecto a se destacar nas comunicações que ocorrem em sala de aula é que “Escrever e falar sobre o que pensam clarifica as ideias dos alunos e dá ao professor informação valiosa a partir da qual ele pode tomar decisões sobre o seu trabalho” (NORMAS, 1994, p. 94). Isso se evidenciou na turma da 6a série, quando diante da tarefa de condições de existência do triângulo, a discussão de alguns subgrupos gerava sobre o próprio conceito de triângulo:

PP : Bom! Você acha que não é (triângulo) por quê? Vamos ver.

A1: Acho, que por que uma parte está assim e a outra está assim, olha!!!Uma está reta e a outra está inclinada.

A2: Tem três partes, é igualzinho a um triângulo, só pode ser um triângulo.

A3: Não importa o tamanho, importa que tem três lados.

PP: Fala J. É triângulo, J., para você aquilo ali?

A4: É um triângulo mais ou menos.

PP: O que é um triângulo mais ou menos, A2?

A2: Esse triângulo aqui professor, ele tem 3 partes certa, esse aqui não, olha, que número você tirou mesmo?

A1: 5, 4 e 3.

A2: Três partes certas são as que, tipo assim, uma parte tem cinco centímetros, a outra tem 5 cm e a outra tem 6, assim, cm, por que duas partes têm que ser iguais, ou um ou dois números diferentes só, com 4 não dá. Com o 5 dá.

O diálogo que se estabeleceu no grupo possibilitou que o professor da turma percebesse que os alunos tinham um conceito reduzido de triângulo, limitando aos casos eqüilátero (três lados de mesma medida) e isósceles (dois lados de mesma medida); ou seja, não identificavam a possibilidade de um triângulo possuir os três lados com medidas diferentes. Se os alunos não estivessem se manifestando livremente nos grupos, provavelmente, o professor não teria percebido essa limitação do conceito e isso, com certeza, geraria futuros comprometimentos de aprendizagem.

Numa tarefa de investigação é esperado que os alunos cheguem até a generalizações e demonstrações – dependendo da faixa etária. Na pesquisa realizada foi possível constatar que os alunos conseguiram chegar até a fase de argumentação, ou seja, uma pré-demonstração. O argumento matemático é o que descreve, explica métodos de resolução e convence sobre a validade ou não de uma conjectura. Nesses momentos de argumentação, os alunos entram em desacordos, utilizam seus conhecimentos, fazem testes com casos particulares. As tarefas de investigação são meios privilegiados para proporcionar boas discussões matemáticas e se constituem em genuínas atividades matemáticas, ou seja, “fazer conjecturas e validar essas conjecturas é a essência do acto criativo que é fazer matemática” (NORMAS, 1994, p. 97).

Algumas reflexões finais

A experiência com as tarefas investigativas sinalizam que o trabalho não é tão simples; os alunos não estão habituados a esse tipo de aula e, principalmente, a escrever nas aulas de matemática. Nesse sentido, o trabalho é bastante moroso no início, provoca resistências. Mas, se realizado de forma constante pode-se romper com essas barreiras.

O processo de escrita também envolve um dos principais papéis do professor: o incentivo, a intervenção, mostrando a necessidade e de como deve ser essa escrita. Os alunos que se envolvem nas discussões, participação e escrita dos relatórios vão evoluindo na argumentação e escrita.

A pesquisa também proporcionou reflexão da própria prática, verificando como é possível diferenciar as aulas de matemática. Aulas que envolvem conceitos instigantes revelam a importância do “fazer matemática”. Enfim, nas atividades investigativas é possível e essencial, a comunicação de idéias matemáticas. Possível pois precisam da discussão no coletivo da classe e essencial pois faz parte do processo investigativo. É uma comunicação tanto oral quanto escrita, apresentados em vários momentos da aula.

Referências Bibliográficas

ABRANTES, Paulo; SERRAZINA, Lurdes; OLIVEIRA, Isolina. A matemática na educação básica. Lisboa: Ministério da Educação – Departamento de Educação Básica, 1999. 1a edição, 129p.

FIORENTINI, Dario; MIORIM, Maria Ângela (Orgs.). Por trás da porta, que matemática acontece? Campinas, SP: Editora Graf. FE/Unicamp – Cempem, 2001.1a edição, 231p.

GTI: Grupo de Trabalho de Investigação. Reflectir e Investigar sobre a Prática Profissional. Portugal: Associação de Professores de Matemática, 2002, 1a edição, 335p.

LUDKE, Menga; ANDRÉ, Marli E.D.A. Pesquisa em Educação: Abordagens Qualitativas. Educação Pedagógica e Universitária LTDA, 1986.

NASSER, Lílian; TINOCO, Lúcia A. A.(coordenação). Argumentação e provas no ensino de matemática. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ – Projeto Fundão, 2001, 109p.

NORMAS PARA O CURRÍCULO E A AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA ESCOLAR. Tradução portuguesa dos Standards do National Council of Teachers Mathematics. Lisboa: APM e Instituto de Inovação Educacional, 1994.

NACARATO, Adair Mendes; PASSOS Cármen Lucia Bracaglion. A Geometria nas Séries Iniciais – Uma análise sobre a perspectiva da prática pedagógica e da formação de professores. São Carlos: Edufscar, 2003, 150p.

OLIVEIRA, Paulo. A investigação do professor, do matemático e do aluno: uma discussão epistemológica. Tese de Mestrado. Universidade de Lisboa, Portugal, s.d., 285p. disponível em http://ia.fc.ul.pt/textos/polieira/index.htm.

PONTE, João Pedro; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas na Sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003, 1a edição, 151p.

 
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