PRIMEIRAS EXPERIÊNCIAS EM AULAS INVESTIGATIVAS

Keli Cristina Conti - Grupo de Pesquisa PRAPEM/CEMPEM - Faculdade de Educação / UNICAMP
Décio Lauro Soares - Grupo de Pesquisa PRAPEM/CEMPEM - Faculdade de Educação / UNICAMP

A partir da leitura do Livro “Investigações Matemáticas em Sala de aula” de Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), elaboramos e aplicamos tarefas investigativas relativas à análise de “padrões e regularidades envolvendo números e operações elementares”. A experiência foi realizada junto a classes de 5.ª e 6.ª séries do Ensino Fundamental das redes pública e privada de Campinas. Nesta comunicação, descrevemos e analisamos a dinâmica e as interações da atividade investigativa em sala de aula e, sobretudo, as dificuldades e resultados encontrados em uma situação de primeira experiência tanto por parte dos alunos, quanto dos professores com esse tipo de prática pedagógica exploratório-investigativa.

Aula investigativa?

Investigações matemáticas?

O tema chegou ao nosso conhecimento através das reflexões do livro “Investigações Matemáticas na Sala de Aula”, nos encontros do Grupo de Sábado do qual fazemos parte, ambos buscando refletir sobre a própria prática: Uma enquanto professora a seis anos da rede pública municipal e estadual, com experiência no Ensino Infantil, Fundamental e Médio; o outro enquanto aluno do curso de matemática da Unicamp, desde 2001, nas modalidades de bacharelado e licenciatura.
Paralelo a nossa participação nas reflexões do GdS, desenvolvemos também um projeto que visa estudar uma proposta de diferenciada de grupos colaborativos denominada estágio colaborativo , sendo esse, parte de um outro projeto de âmbito internacional, coordenado conjuntamente pelas Universidades de Lisboa e de Campinas (UNICAMP) e que recebe o titulo de “Projeto Luso-Brasileiro de Investigação Matemática no Currículo e na Formação de Professores”.

Inicialmente pensávamos em adaptar essa proposta de aulas investigativas enquanto prática pedagógica ao nosso contexto de estágio colaborativo. Contudo, o tema aulas investigativas nos pareceu algo muito complexo e gerou um certo receio, por um lado, na visão da professora, pois parecia algo um tanto abstrato para aplicação junto aos alunos mais novos; por outro, na visão do formando em matemática, pois aquele tipo de atividade era algo completamente novo em todos os seus anos de estudo e aparentava ser uma proposta de difícil implementação junto à escola pública em que trabalhavam.
Na medida em que as reflexões no grupo foram avançando, o receio foi diminuindo, até que se discutiu uma tarefa do livro supracitado, que convidava os alunos a “analisarem padrões e regularidades envolvendo números e operações elementares”:

“Outro olhar sobre a tabuada:
1. Construa a tabuada do 3. O que encontra de curioso nesta tabuada?
Prolongue-a calculando 11 x 3, 12 x 3, 13 x 3 ... e formule algumas conjecturas.
2. Investigue agora o que acontece na tabuada do 9 e do 11.”
(J. P. PONTE ET. AL. pág 64)

Diante da simplicidade desta tarefa, sentimos que ela seria um ponto de partida ideal para ingressarmos nesse instigante “mundo das investigações”.
Nossa proposta inicial de trabalho com atividades investigativas se centrava num programa que seria realizado da seguinte forma:

? Elaboração (ou adaptação) conjunta das tarefas exploratório-investigativas, visando aproximá-las ao contexto em que seriam aplicadas;

? Apresentação da proposta aos responsáveis pela coordenadoria pedagógica das escolas em que o trabalho seria desenvolvido;

? Implementação e desenvolvimento das tarefas em sala de aula;

? Reflexão, análise conjunta dos resultados e re-elaboração caso necessário;

? Reflexão e análise conjunta de todo o processo de utilização das atividades exploratório-investigativas enquanto prática pedagógica.

Dentro dessa perspectiva, como essas experiências investigativas eram uma proposta nova para ambos, seguimos algumas orientações encontradas em PONTE ET. AL. (2003):

? Motivar os alunos;
? Apresentar e ler conjuntamente a tarefa;

? Interagir junto aos grupos de trabalho;
? Incentivar a exposição oral dos resultados das investigações para os colegas.
? Organizar a apresentação dos alunos;

Juntamente a esse roteiro, acrescentamos também um tópico que consideramos importante: Sistematizar na lousa as conclusões expostas oralmente, para que os alunos pudessem registrar os vários aspectos trabalhados evitando assim que os alunos se apropriassem somente de suas próprias investigações.
Passada a fase de planejamento, apresentaremos agora o relato de três momentos distintos que ocorreram durante o desenvolvimento de nossa primeira experiência investigativa.

1.º MOMENTO:

Atividade realizada junto a alunos da 5.ª série do Ensino Fundamental de uma escola Particular :

Em função de aspectos burocráticos, nossa proposta inicial teve de sofrer alterações, pois o contexto de estágio colaborativo não foi contemplado no âmbito da rede particular de ensino, de modo que ainda que a atividade tenha perpassado por todo o processo acima descrito, quando de sua aplicação com a primeira turma no colégio particular, não foi possível a presença conjunta dos autores durante a realização da atividade.
Mediante solicitação à direção da própria escola, foi possível obter cópias individuais do enunciado, as quais foram distribuídas e organizadas de modo que os alunos pudessem trabalhar em 3 duplas distintas e após essa organização inicial, foi lançada a motivação de que os alunos seriam “alunos investigadores”.
Praticamente no primeiro minuto, já surgiu a pergunta: “O que é para fazer?” , já que os alunos estavam habituados a trabalhar apenas com situações-problema fechadas e com resposta única.
Passado o impacto inicial, a atividade foi novamente lida e após a construção, por parte dos alunos, da tabuada no papel, as descobertas começaram de uma forma tão intensa, que a cada nova descoberta uma onda de vibração se espalhava pela sala, levando os grupos a quererem investigar cada vez mais.
Selecionamos abaixo alguns trechos, produzidos pelos alunos durante a investigação, e complementamos com exemplos que muitas vezes foram oralmente expostos por eles:

Consistência da tabuada com respeito à soma:

? “... somando o resultado de uma com o de baixo vai dar o resultado que já tem na tabuada”

Existência de padrões relacionados às unidades da tabuada do 3:

? “A partir do número 0 os resultados passam a ter no final deles 3, 6, 9, 2, 5, 8,1, 4, 7”

Alternância da tabuada entre pares e impares:

? “... que os números dos resultados desde 3 x 0 vão em ordem : par ( 3 x 0 ), ímpar ( 3 x 1 ), par ( 3 x 2 ) ...”

Critérios de divisibilidade / Propriedades relativas à multiplicação por 0:

? “... os números que devem ser multiplicados que tem 0 no fim, o resultado também termina em 0”.

Estas foram algumas Linhas de Desenvolvimento Investigativo (LDI), tomadas pelos alunos durante a realização da atividade.
Após as apresentações das duplas, compartilhando as conclusões com a classe, a atividade foi encerrada. Em função do tempo utilizado pelos alunos para o desenvolvimento da mesma, não foi possível realizar uma sistematização do conteúdo investigado na lousa.
Também devido ao tempo, não foi possível trabalhar com os dois tópicos da tarefa, ficando a mesma relegada apenas ao proposto no item 1, deixando assim a investigação das tabuadas do nove e do onze (Item 2 da tarefa) para uma próxima oportunidade.
O marcante foi que os alunos entenderam a proposta, gostaram e realmente aproveitaram aquele momento, mostrando o olhar investigativo sobre a atividade.
Sob nossa perspectiva, a tarefa gerou também duas situações distintas: a primeira de imensa satisfação ao analisarmos os resultados das diferentes LDI escolhidas pelos alunos para o desenvolvimento da atividade; a segunda de grande ansiedade para aplicação em outros contextos.

2.º MOMENTO:

Atividade realizada com alunos da 6.ª série B da E.E. “Prof. Adalberto Prado e Silva”

Extremamente entusiasmados com os resultados obtidos com a primeira turma, partimos para a implementação da tarefa em uma escola pública, onde pudemos trabalhar conjuntamente em todas as etapas do processo de desenvolvimento da mesma, em função do contexto de estágio colaborativo que vínhamos desenvolvendo junto à escola.
Por questões logísticas, não dispúnhamos de material individual a todos os alunos (35 no total), de modo que pedimos que eles se dividissem em trios por afinidade (12 no total) e que copiassem o enunciado em folhas de papel sulfite que havíamos providenciado.
Outro ponto que merece destaque foi que para essa segunda aplicação, reformulamos o enunciado da tarefa de modo a torná-lo didaticamente mais claro para o nosso contexto e de execução possível no tempo disponível para tal fim. Desse modo, o novo enunciado ficou assim:

“Investigações numéricas:
1. Construa a tabuada do 3. O que você encontra de curioso nesta tabuada?
Prolongue-a calculando 11x3, 12x3, 13x3... e formule algumas conclusões.”

Feito isso, lançamos a motivação e deixamos que realizassem a atividade.
Novamente surgiu a pergunta inicial “O que é para fazer?”, pois esses alunos também estavam habituados a situações-problema fechadas com uma única resposta.
Entre anotar; compreender; investigar; esperar por nossa intervenção, muitos trios perderam o foco da atividade, se dispersando em conversas paralelas e as LDI, bem como as descobertas oriundas dessas linhas, embora aparecessem, não foram como havíamos previsto. Os alunos acabaram compreendendo a proposta mais como um exercício com respostas prontas e freqüentemente nos perguntavam:

- “Como fazer?”.

- “Quantas descobertas preciso fazer?”.

- “Essa quantidade já está bom?”.

Após uma hora e quinze minutos de trabalho, fez-se necessário o encerramento da atividade, tal era o grau de dispersão que a sala havia chegado.
Durante a dinâmica de apresentação das conclusões dos trios à classe, apesar do receio de alguns de se apresentarem perante seus colegas e da insegurança frente a essa nova situação, tivemos talvez aqui algo que se constituiu no melhor momento de toda a atividade, pois sob nossa ótica, esse foi o verdadeiro momento do entendimento, quando os alunos compreenderam com mais clareza a nossa proposta, fizeram intervenções e até novas descobertas.
Acreditamos que foi nesse momento que os alunos, talvez motivados pelo entusiasmo de alguns colegas em relatar suas descobertas, sentiram-se mais livres para realizar intervenções e compartilhar conclusões.
Novamente selecionamos alguns trechos produzidos pelos alunos, que mostram as LDI que alguns grupos tomaram para a realização da atividade:

Critérios de divisibilidade por 3:

? “somando o resultado sempre teremos um múltiplo de 3 por ex.:”

Operações entre os valores :

? “...o resultado da primeira conta menos o resultado da segunda, mais o resultado da terceira vai dar o resultado do próximo”

Existência de padrões relacionados às unidades na tabuada do 3 :

? “...descobrimos que os números 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, se repetem”.

Noções sobre o infinito (infinitude dos números):
? “a tabuada é infinita”.

Em nossas reflexões após a aula (alias prática que se tornou comum em nosso contexto de estágio colaborativo) sobre a realização da atividade junto à classe em questão, pudemos chegar a algumas conclusões como:
? A turma ainda não possuía muita experiência com a dinâmica do trabalho em grupo, pois vimos nitidamente que a concepção de trabalho em grupo que possuíam era de sentar fisicamente juntos, muitas vezes linearmente (fato que dificulta a efetiva participação de todos segundo nossa concepção), e dividir as tarefas de modo a estabelecer “uma descoberta para cada um”;

? O grande número de grupos (12) dificultou nossas intervenções e interações junto a eles;

? A forma como a tarefa foi apresentada, por nós, sem muitas explicações ou encaminhamentos, pode ter sido mais um fator complicador, já que a turma nunca havia tido nenhuma experiência investigativa e nem mesmo experiências diversificadas, estando habituados a dinâmicas do tipo giz e lousa.

Após essas reflexões resolvemos continuar com o planejamento, realizando a investigação com a outra 6ª série, mas não sem antes trabalhar com novas adaptações à atividade.

3.º MOMENTO

Atividade realizada com alunos da 6.ª série A da E.E. “Prof. Adalberto Prado e Silva”

Desta vez, providenciamos para que (ao menos cada grupo) recebesse uma cópia da atividade já impressa, buscando evitar assim algumas discussões não muito relevantes à investigação, tais como: com qual cor de caneta o enunciado deveria ser escrito; qual tipo de folha de fichário deveria ser usada (a do Batman ou a de florzinha) , entre outras; discussões essas que haviam tomado um tempo precioso durante a realização da atividade junto à outra 6ª série.
Outra medida tomada foi a de dividi-los em duas turmas, que foram separadas em salas distintas, cada qual sob a supervisão de um de nós.
Nos preocupamos ainda em formar arbitrariamente os trios (6 trios para cada turma), já que com a classe anterior, eles haviam se organizado conforme suas preferências pessoais. Buscávamos com isso verificar qual seria o melhor formato de divisão dos grupos para as futuras atividades.
Por fim, após longa discussão sobre até que ponto nossa participação deveria fornecer aos alunos LDI, concordamos que seria interessante, ao menos para essa primeira atividade, construir propositadamente a tabuada na lousa, organizando-a em duas colunas conforme o exemplo abaixo, para que eles visualizassem a tabuada de uma maneira que considerávamos mais propícia à formulação dessas linhas.

Exemplo da organização proposta

Apesar do alvoroço inicial promovido “pela divisão” arbitrária da classe e da já freqüente pergunta “O que é para fazer?”, acreditamos que organizamos melhor a proposta e ela foi bem compreendida pelos alunos.
Isso serviu para levantar a hipótese de que ao menos algumas das intervenções e adaptações que fizemos ao longo de todo o processo podem ter causado diferenças no comportamento investigativo dos alunos.
Outra hipótese levantada é a de que na medida em que nos “incorporávamos” às atividades investigativas, nosso receio em trabalhá-las diminuía e com isso nossa auto-afirmação frente a elas transparecia, contagiando também os alunos com essa auto-afirmação.
No trabalho desenvolvido com essa classe, houve pouquíssima dispersão e o foco investigativo imperou.
Os grupos conseguiram levantar mais conjecturas e chegar a um número maior de LDI, que em determinados momentos se mesclavam, gerando uma nova linha investigativa, o que acarretou em conclusões que pareciam ter uma maior “consistência” matemática.
Seguem-se agora alguns exemplos da produção dos alunos da classe:

Propriedade comutativa:

? “Eu posso multiplicar 11x3 ou 3x11 que não vai alterar o resultado, a mesma coisa eu posso fazer com 12x3 e 13x3”
? “Se inverter a conta dá o mesmo resultado”

Noções de potenciação:

? “quando eu multiplicar o resultado pelo 3 nós vamos achar os resultados que estão na tabuada”

Relações de recorrência:

? “...que o resultado da coluna 1 aumenta mais 30 dos resultados da coluna 2”

Propriedades de operações entre os elementos de conjuntos numéricos:

? “Quando o três é multiplicado por um numero par o resultado é par, e quando o três ou qualquer outro numero for multiplicado por um numero impar o resultado é impar”

Reunimos as duas turmas, para a dinâmica de apresentação dos resultados. Ainda que os alunos demonstrassem uma certa insegurança frente à situação nova, a dinâmica fluiu bem, chegando até a gerar um certo clima de competição para ver qual seria a turma que mais descobertas havia feito.
Passados alguns minutos nessa dinâmica, se tornou constante a movimentação dos alunos à frente, sem qualquer receio, para expor suas descobertas ou mesmo discutir algumas opiniões a respeito do tema.
Aparentemente, o simples fato de colocar os alunos na posição de oradores elevou os ânimos e alguns, considerando-se na posição de pseudo-professores perante os colegas, empolgaram-se de tal forma que chegaram até a complementar sua exposição oral com uma própria sistematização na lousa.

CONCLUSÕES

Essas experiências serviram para mostrar tanto o caráter didático-pedagógico das atividades investigativas, como também sua adaptação aos mais diferenciados contextos, como é o caso do estágio-colaborativo.
Serviu também para mostrar que qualquer alternativa pedagógica é passível de aplicação, a partir do ponto em que os envolvidos se comprometem e se identificam com a proposta.
Temos ainda que essas atividades são um importante fator desencadeante a algumas características que hoje estão um pouco adormecidas nos jovens que freqüentam nossas escolas, como por exemplo, as competências de conjeturar, argumentar e deduzir matemáticamente.
Contudo, não devemos acreditar que as atividades investigativas, tão somente, serão capazes de alcançar todos os alunos e resolver todos os problemas. É preciso sim que haja um compromisso pedagógico por parte dos educadores e dentro desse compromisso, as atividades investigativas podem vir a ser uma ferramenta de apoio ao ensino.
Após essas PRIMEIRAS EXPERIÊNCIAS EM ATIVIDADES INVESTIGATIVAS, na escola particular e na escola pública, fica claro que situações novas sempre geram ansiedade por parte de todos; alunos, professores, estagiários; mas é preciso experimentar essas situações e achar o ponto ideal naquele momento para aquela turma. Esses três momentos vividos serviram para mostrar a importância das investigações e inovações no trabalho, que não há receitas prontas e acabadas a seguir e que muitas vezes é necessário construir outros elementos até que se consiga chegar ao objetivo matemático da situação. O importante é que continuaremos a levantar a bandeira das atividades investigativas como prática de ensino com mais afinco do que nunca para fortalecer o espírito investigativo contribuindo para a formação de alunos “pensadores”.

AS CONSEQÜENCIAS

Advertimos entretanto que uma vez despertada a “paixão” pela investigação nos alunos, o educador deve estar preparado para lidar com as mais inusitadas situações, tais como alunos extremamente motivados e questionamentos profundos acerca do conteúdo ensinado, como podemos notar no relato de um episódio ocorrido em uma das salas onde o compromisso pedagógico, aliado a uma pitada de atividades investigativas despertou essa paixão.
Algum tempo depois, enquanto trabalhávamos com números quadrados perfeitos, construindo uma tabela, eis que surge uma aluna com a seguinte conjectura:
“... olhem, quando o número termina em 5 o seu quadrado também, e quando termina em 6 o seu quadrado também”.
A partir dessa conjectura levantada pela aluna, surgiu, naturalmente, uma insaciável necessidade por parte dos alunos de verificar se essa conjectura era algo que valia para todos os quadrados perfeitos.
Então a classe se envolveu no processo de prolongar a tabela que construíamos e verificar as regularidades que ocorriam com os números, esse fato esse que mostra que o olhar investigativo foi desenvolvido nesses alunos e eles já mostram uma outra postura frente ao que lhes é apresentado.
Portanto alertamos, caso você não esteja interessado em trabalhar com alunos motivados, participativos e com uma verdadeira “fome de saber” NÃO ingresse no fascinante mundo das atividades exploratório-investigativas.

REFERÊNCIAS:

BORBA, Marcelo C. & ARAUJO, Jussara L.(ORG.) Pesquisa qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
CASTRO, Juliana Facanali. Um estudo sobre a própria prática em um contexto de aulas investigativas de Matemática. Campinas. Dissertação (Mestrado em Educação: Educação Matemática) – FE – UNICAMP, 2004
PONTE, João P. & BROCARDO, Joana & OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
SOARES, Décio L. & CONTI, Keli C. Estágio colaborativo: Uma experiência possível? Comunicação apresentada no XVIII ERPM – Encontro Regional de Professores de Matemática. Campinas. UNICAMP 2005.