Profa Ms. Erica da Silva Moreira Ferreira - FE/UNICAMP

Profa Dra Anna Regina Lanner de Moura - FE/UNICAMP

Resumo

A pesquisa investigou as características das reflexões de professores em Formação Continuada que se baseou na combinação entre atividade de ensino e dinâmica relacional, realizada em cinco localidades diferentes do Estado de São Paulo. As informações da pesquisa constam de reflexões registradas em diários, portifólios e produções ocorridas durante o curso de formação, nos momentos da dinâmica relacional. É neste último enfoque que destacaremos um aspecto da linguagem onde, pela problematização do nexo conceitual do número natural — contagem por agrupamento — há a criação de linguagem operacional não simbólica a partir da qual é possível ressignificar a linguagem formal do sistema de numeração decimal.

Introdução

Quando trabalhamos os conceitos matemáticos em sala de aula, nos preocupamos em proporcionar meios para que essa relação de aprendizagem seja significativa para os alunos. Porém, a dúvida sempre reside em como tornar essa relação uma via de comunicação que possibilite desenvolver um consenso de regras estabelecidas que compõem o que nos referimos como a lógica formal dos conceitos matemáticos.

O objetivo a que nos propomos com este trabalho é apresentar uma possibilidade de abordagem em salas de aula pautada na dinâmica relacional (indivíduo-grupo-classe), cujo espaço de discussão gera dúvidas e a construção de expressões que respondem às atividades de ensino propostas elaboram uma linguagem, ainda não formal, mas que, na negociação de significados dessas expressões/representações criadas, pela busca de um consenso entre os pares, cria-se um canal de possibilidades para a compreensão da linguagem formal matemática.

Situando o leitor

O trabalho aqui apresentado refere-se à pesquisa realizada no Mestrado, na área de Educação Matemática, defendida em 2005. A pesquisa pretendeu investigar as características das reflexões dos professores decorrentes da combinação entre atividade de ensino e dinâmica relacional. Pretendíamos com essa questão analisar, através das reflexões dos professores, o como compreendem e elaboram para si as abstrações matemáticas que ensinam.

Mas em que momento destacaremos o papel da linguagem — objetivo maior do encontro em questão — na perspectiva apresentada na pesquisa? Para vislumbrar essa ligação precisaremos inicialmente definir certos conceitos, tais como: atividade de ensino, dinâmica relacional e tensão criativa.

Buscamos a definição de atividade de ensino baseando-nos, sobretudo no conceito de Atividade que advém das considerações de Alexis Leontiev (1903). A teoria da atividade partiu das idéias de Vigotski sobre o psiquismo entendido como um processo social, enfatizando a concepção de que a atividade prática determina o desenvolvimento da mente.

Para LEONTIEV (1983), as necessidades dirigem a atividade do sujeito, não só as necessidades materiais, mas também as emocionais e afetivas. Porém, seria um equívoco atribuir a essas necessidades apenas uma significação imediata de subsistência. Mais do que isso, o autor refere-se não só a essas necessidades primárias de ordem prática, mas também àquelas intelectuais.

O que fica claro em sua teoria, e que se apresenta de modo bastante significativo, é que o que move os sujeitos — ação humana — não é apenas uma satisfação pessoal, mas, sobretudo, uma satisfação coletiva; o desejo de participação social visando a transformação da realidade naquilo que necessita ser transformado.

As atividades humanas são conscientes, planejadas e visam um fim social, portanto são trabalho no sentido em que tal termo aprofunda o conceito: no sentido de realização humana (GALHARDO, 1982, p.3).

A atividade, segundo LEONTIEV (1983), pode ser então caracterizada pelo motivo pelo qual o sujeito se dispõe a agir a partir de uma necessidade. A atividade não pode existir sem um motivo; a atividade “não motivada” torna-se ação, sem significação intrapsicológico. Assim como o conceito de motivo se relaciona ao conceito de atividade, o conceito de objetivo se relaciona ao conceito de ação.

Estas considerações sobre a teoria da atividade encontram consonância com o que MOURA (2001) tem exposto sobre atividade entendida como orientadora de ensino.

O autor propõe que, se partirmos do pressuposto de que o ato educativo pressupõe troca de significados entre os sujeitos participantes com vistas a um novo patamar de conhecimento, onde os partícipes se modificam mutuamente, devemos então compreender a atividade de ensino numa outra dimensão — usualmente compreendida como estratégia de ensino (MOURA, 2000). E define que a atividade orientadora de ensino,

(...) deve provocar no sujeito uma necessidade de solucionar algum problema. Ou, melhor ainda: ter sua nascente numa necessidade. Esta, por sua vez, só aparece diante de uma situação que precisa ser resolvida e para cuja solução exige uma estratégia de solução. Assim, ela exige um plano de ação (MOURA, 2000, p.34).

As atividades orientadoras de ensino — ou simplesmente atividades de ensino, como iremos nos referir ao longo deste trabalho — considera o desenvolvimento lógico-histórico do conceito pela análise dos inesperados (CARAÇA, 2002) ocorridos em momentos aleatórios da sua formação, e a vivência e participação dos sujeitos num processo de reflexão, dimensionada pela dinâmica indivíduo-grupo-classe.

Entendemos então que, ao nos referirmos ao desenvolvimento conceitual numa dinâmica apoiada na atividade de ensino, nos opomos à visão tradicional do conceito que o reduz a uma noção geral, como algo morto, vazio e abstrato (LEONTIEV, 1983). Quando falamos em conceito, devemos entendê-lo não como uma abstração vazia, mas sim como um conjunto de definibilidades adquiridas pela compreensão que temos da realidade concreta e por meio da qual compreendemos e damos significados aos conteúdos trabalhados.

As definibilidades advindas da atividade humana com a realidade consideram o movimento lógico e histórico do pensamento, ou seja, o ir e vir do pensamento no sentido de compreender e entender o mundo. Não consideram apenas as sensações decorrentes da relação direta entre sujeito e objeto. Estar em atividade envolve relacionar-se com o mundo das sensações e com o movimento do próprio pensamento, ou seja, com o mundo das abstrações. Assim, as relações que envolvem o concreto do pensamento (SOUSA, 2004), as abstrações juntamente com o concreto manipulável, as sensações, dão vida ao conceito de atividade.

Para solucionar a questão apresentada pela atividade, o sujeito estabelece objetivos, desencadeia ações, elege instrumentos e, por fim, avalia se chegou a resultados adequados ao que era desejado (MOURA, 2001, p.155). A atividade tem por função considerar o sujeito dentro de uma realidade objetiva e transformá-la em realidade subjetiva.

Em outras palavras, as atividades de ensino devem permitir aos alunos e professores formarem para si, em sua subjetividade, como sujeitos que aprendem, um conceito.

A atividade de ensino é desencadeadora quando se torna o meio onde uma necessidade seja provocada, percebida e planejada, permitindo assim, novas elaborações a partir da dinâmica adotada. Deve provocar no sujeito uma necessidade e encorajá-lo a buscar soluções. Considera os conhecimentos que já possui e busca novos – em pesquisas, ou em momentos de trocas com os colegas.

Nesse entrelaçamento de idéias, surge um novo patamar de conhecimento, diferente do inicial. A atividade de ensino convida o sujeito a esgotar seus conhecimentos adquiridos anteriormente gerando assim, a busca de um novo referencial. É transformar o objeto a ser conhecido em objeto de ensino, e, na interação entre os sujeitos, partilhar significados. Não é a solução por ela mesma, mas sim todo o processo que gerou a solução e que trouxe significado para o processo educativo.

Assim, considera-se na ação de aprender, as dúvidas, as curiosidades, a vontade, os conhecimentos anteriores; há liberdade para mover-se tanto para trocar idéias com colegas, quanto para manifestar expectativa e ansiedade. Assume-se o papel de criador, então é possível argumentar a favor de suas elaborações, defendê-las, e também aprende a considerar que precisa refletir mais e melhor; coloca-se por inteiro nessa empreitada e, quando consegue encontrar uma solução plausível, sente imensa satisfação.

A possibilidade de participar ativamente da construção da atividade, proporciona uma tensão,

... que coloca em movimento uma complexidade de outras funções psicológicas que contribuem, juntamente com a função cognitiva, para uma aprendizagem significativa dos conceitos científicos (LANNER DE MOURA e LORENZATO, 2001, p. 37).

O processo de pensamento se inicia quando e onde se dá a formação das abstrações mais elementares. Os juízos [são] a forma mais simples e mais importante de abstração. (...) Está presente (...) nos conceitos, nas deduções, nas teorias,... (KOPNIN, 1978, p. 195). Refletem uma idéia sobre os fenômenos da realidade objetiva, as propriedades, conexões e relações. Através de seu conteúdo, comunica, motiva e interroga sobre os objetos ou fenômenos do mundo que interessam. Quando somos colocados diante de determinadas situações vamos emitindo alguns juízos (KOPNIN, 1978).

Complementando essa idéia, correlacionando-a com as de CARAÇA (2002), podemos definir que estes juízos representam emblemas (LANNER de MOURA, et al, 2003) porque não estão muito definidos em nosso pensamento. Relaciona-se aos conhecimentos que já possuímos sobre determinado assunto. É um momento marcado pela desarticulação das idéias, onde estas se encontram de maneira fragmentada e difusa, que ainda não passaram por um processo de elaboração.

Nossa relação com aquele determinado objeto do conhecimento se explicita. Num movimento coletivo, trazemos os nossos juízos e o confrontamos com o dos outros. Nesse movimento, nossos emblemas transformam-se em dilemas. Nesse momento, a problematização antes desorganizada, desenvolve-se num quadro de relações (MOISÉS, 1999), cujo conteúdo explicita a contradição e gera uma ação de conservação ou superação da situação emblemática. Nesse momento analisa-se as variáveis do problema e se estabelecem novas relações deste.

De acordo com MARCO (2003), esses momentos se constituem na

“(...) fertilidade do pensamento, onde idéias emergem de uma forma desorganizada e até mesmo conflituosa, difusa e fragmentada, necessitando de elaboração e que vai culminar na formulação de uma pergunta, ou seja, problematização, que objetiva o entendimento do inesperado e sua superação (MARCO, 2003, p. 28)

Pela análise, reflexão e confrontação de idéias — nossas e dos outros — buscamos definir a questão que devemos perseguir. Ocorre o surgimento de novas idéias e ações em diferentes direções e nesse momento, o indivíduo elabora suas hipótese no sentido de afirmá-las ou refutá-las. Esse é o momento de formalização do problema.

Ao entendermos e darmos linguagem lógica aos nossos dilemas definimos o problema e fechamos o ciclo. Neste ciclo — emblema-dilema-problema (LANNER de MOURA et al, 2003), definimos o que é estar em tensão criativa.

Tudo o que não é natural, ou seja, tudo o que é “coisa criada – criativa”, é fruto da imaginação humana. Para VYGOTSKY (In, LANNER DE MOURA e LORENZATO, 2001), todas as formas de criar encerram em si elementos afetivos. Isto pode significar que o ato de criar é um ato afetivo/emocional. Criar então é parte da necessidade humana de viver. Um ser humano que não consegue espaço para criação, desvirtua em parte suas funções essenciais.

Esse é o ser humano que chega nas escolas para aprender. Muitos já chegam sem nenhuma vontade para aprender aquilo que temos para ensinar. Muitos já desaprenderam a criar. É necessário re-encantar esse aluno e convidá-lo a sentir a si mesmo, redescobrir-se criador!

Compreendendo o desenvolvimento da pesquisa

O trabalho desenvolvido com professores que atuavam nas séries iniciais do Ensino Fundamental nos cursos de educação continuada em matemática — que foram o motivo para a realização da pesquisa de Mestrado aqui citada — era o de proporcionar espaços nas aulas para que eles próprios ressignificassem os conceitos matemáticos. Esses conceitos eram por eles ensinados aos seus alunos, porém, sem a garantia que eram conceitos compreendidos por eles, que dirá então para os alunos.

Nos propusermos a trabalhar com a formação de professores tendo em vista o desenvolvimento de uma prática centrada nos movimentos de re-criação dos conceitos matemáticos. Referimo-nos a um movimento de re-criação, uma vez que não estamos afirmando que o indivíduo vai criar os conceitos novamente, já que estes foram criados pelas diversas civilizações.

Os cursos ministrados não tinham por intenção apenas a transmissão de um conhecimento, mas sim, a perspectiva de oferecer reflexões que norteassem a conduta do profissional dali em diante.

A metodologia de formação, nas aulas, teve como objetivo proporcionar o máximo aproveitamento da capacidade produtiva e criativa do professor.

Foram desenvolvidas, nos momentos presenciais:

• Atividades de ensino, propostas como forma de organizar e compreender a natureza do pensamento matemático.
•
• A dinâmica relacional indivíduo-grupo-classe, pela qual se possibilitaria o momento individual de reflexão sobre as conexões conceituais, a elaboração interativa em grupos pequenos das atividades dos conteúdos e, num terceiro momento, a elaboração da classe.
•

À distância, os professores foram incentivados a:

• Desenvolver leitura de livros e textos,
•
• Produzir resumos e resenhas dos mesmos,
•
• Fazer anotações das aulas em diários ou portifólios,
•
• Elaborar uma atividade de ensino para a criança, e
•
• Usar tecnologia para comunicar suas produções.
•

Para a pesquisa, a atividade de ensino que foi destacada e analisada se referiu à atividade nomeada de “Melhorando a contagem do pastor”. Esta atividade de ensino se propõe a desenvolver um momento desencadeador para o conceito de número natural, na Unidade Didática intitulada “Os Nexos Conceituais do Número”.

O movimento lógico-histórico do conceito contribui para a problematização das atividades de ensino uma vez que, ao participarem do movimento de criação do conceito, os envolvidos nas atividades — no caso deste estudo, professores —encontram espaço para darem conteúdo pessoal às elaborações conceituais.

Ao se trabalhar com essa atividade, o objetivo principal é o de esgotar o uso da correspondência biunívoca, utilizada como recurso de controle da variação das quantidades. À medida que as quantidades aumentam razoavelmente, a contagem pela correspondência um a um apresenta a limitação de conservar, através do tempo, a memória da quantidade contada. Ao se esgotar, dessa maneira, o uso desse recurso, surge a necessidade de se elaborar um novo meio de controlar a variação de quantidades. Pelo aumento cada vez maior das quantidades a serem controladas, fazer corresponder um elemento do conjunto contado a um elemento do conjunto que conta, não é suficiente (mas necessário, num primeiro momento) para resolver o impasse do controle. A idéia de agrupamento passa então a ser cogitada como solução, porém, com restrições semelhantes ao da correspondência biunívoca. O simples agrupar, em quantidades regulares ou não, não nos permite recuperar “numa rápida olhada” a quantidade inicial. É necessário desenvolver um modo rápido de se ter certeza e com exatidão da quantidade que se quer controlar.

Eis o impasse dessa atividade: contar a quantidade de ovelhas do rebanho usando menos pedras do que se usaria fazendo a correspondência um a um. Como agrupar o conjunto que conta as ovelhas de tal modo a se recuperar facilmente a quantidade inicial.

O objetivo é trabalhar o conceito central que dá o diferencial ao Sistema de Numeração atual (indo arábico) em comparação a outros e que nos permite escrever qualquer quantidade com apenas dez símbolos: o valor posicional.

A atividade de ensino é apresentada aos alunos da forma como segue. Vale lembrar que para este trabalho foi considerada a dinâmica de elaboração conceitual indivíduo-grupo-classe e que, portanto há momentos individuais (as reflexões registradas nos diários, são consideradas, também, elaborações de momentos individuais), em momentos de pequenos grupos para posterior socialização.

O problema desencadeador da atividade foi proposto segundo o enunciado abaixo:

“Há muito tempo atrás, o pastor Linus contava as suas ovelhas guardando uma pedra para cada animal. Certo dia mostrou para seu vizinho Petrus a quantidade de ovelhas de seu rebanho. Petrus alertou o amigo dizendo-lhe que se o rebanho aumentasse consideravelmente ele teria que carregar muita pedra. Isso acabou criando um problema para Linus: Como contar a mesma quantidade de ovelhas com menos pedras?”

Procure resolver o problema do Pastor Linus

Foram propostos os seguintes procedimentos para o desenvolvimento da atividade:

1. Distribuir para os grupos, um tanto de pedras ou unidades do material dourado para que representem a quantidade de ovelhas de Linus, correspondendo a cada ovelha um objeto. Seria preferível o uso de pedras de diferentes tamanhos, formas e cores, pois dessa forma aproxima-se mais o aluno da realidade sobre a qual se deve pensar sobre a solução do problema.
2.
3. Solicitar para os alunos resolverem o problema, individualmente, e ilustrarem a hipótese por meio de um desenho.
4.
5. Em pequenos grupos, discutirem o que elaboraram no momento individual e então, acordarem uma elaboração do grupo;
6.
7. Registrar a hipótese apenas em linguagem gráfica. O desenho que demonstra a hipótese deve ser suficientemente elucidativo das regras propostas para evoluir na contagem.
8.
9. Expor as elaborações para o grupo-classe. Um grupo que não participou da elaboração procura decodificar o sistema em discussão.
10.
11. Após todos apresentarem, inicia-se um debate em torno da viabilidade das resoluções apresentadas e escolhe-se o sistema mais apropriado para evoluir na contagem;
12.

Não foi permitido o uso de palavras explicativas, pois, ao elaborar uma idéia de forma exclusivamente gráfica (desenho) nos permite trabalhar com idéias do tipo: o que é o óbvio? A forma como nos expressamos em sala de aula é clara a todo mundo? Será que nós entendemos o que fazemos? Ao nos depararmos com a impossibilidade de escrever, há uma maior exigência de síntese e mais, exige que se tenha clareza para si mesmo, para assim transformar essa clareza em linguagem.

Durante o desenvolvimento da atividade do “pastor Linus” as discussões advindas do debate no grupo-classe, nos cursos de formação, permitiram aos participantes elaborarem questões que, num primeiro momento, parecem não se relacionar diretamente com a formação do conceito de Sistema de Numeração, que envolve o pensar sobre:

• A multiplicação que sintetiza a contagem
•
• A potência que sintetiza a contagem a partir da multiplicação
•
• A posição que guarda em si o valor exponencial da base de contagem feito a partir da potenciação.
•
• O processo de formação da linguagem matemática destituindo-se das qualidades físicas do “conjunto que conta”.
•

Para efeito de uma análise interpretativa com cada uma das diferentes realidades em que essa atividade se deu, restringiremos a análise das elaborações a partir de algumas características que foram comuns a todas. As conclusões foram desencadeadas seguindo o movimento singular dos debates que foram acontecendo em cada turma.

Assumimos para a análise dos dados da pesquisa, três categorias que nos servem de referência para discutir a consistência matemática dos sistemas criados pelos grupos. São elas:

1) A tensão criativa nos pequenos grupos
2)
3) A tensão criativa no grupo-classe
4)
5) Dando conteúdo pessoal ao conceito
6)

Devemos ter a clareza que as elaborações apresentadas pelos professores se tratam de definibilidades, elaborações singulares e provisórias, do conceito de sistema de numeração e que tem como pano de fundo níveis diferenciados de momentos criativos: o que emerge no momento individual, momento em que o aluno se auto localiza diante do conceito, os momentos que se constituem emblemáticos na discussão entre os pares nos pequenos grupos e grupo classe.

Esses momentos de desenvolvimento do conceito de número que denominamos de tensão criativa estão diretamente referendados à dinâmica relacional indivíduo-grupo-classe.

Localizando a linguagem

Diante de tudo exposto até o momento, onde podemos localizar os aspectos da linguagem que nos são importantes focalizar para este trabalho?

Vamos buscar no momento dos pequenos grupos na dinâmica relacional, cujo espaço criativo proporciona o desenvolvimento de uma linguagem operacional para solucionar o problema apresentado pela atividade de ensino destacada. Nessa negociação de linguagem a ser apresentada para o grupo-classe, vemos indícios de ressignificação por parte do professor da linguagem formal utilizada usualmente e que permanece ainda distanciada de significação.

Destacaremos três elaborações apresentadas por pequenos grupos e proceder a uma breve análise focalizando a linguagem.

Na figura 1 percebemos que há a apresentação do mínimo sugerido pela atividade: reduzem a representação numérica ao contexto da quantidade dada, isto é, preocupa-se em apresentar a solução do problema para a quantidade de 17 ovelhas dadas no enunciado do problema. A quantidade de pedras representa apenas um aspecto do problema. Não fornecem informações suficientes para inferirmos uma possibilidade de representação de quantidades maiores de 17.

Não há princípio de generalização (DAVYDOV, 1982, 1988), isto é, não há uma lógica que sustente a elaboração apresentada e que permita utilizá-la para representar qualquer quantidade .

Outra observação a ser feita é o fato de que não há a preocupação de se representar “nenhuma ovelha”.

Na figura 1, se não houvesse as duas ovelhas “soltas”, simplesmente não haveria outra pedra. Não se criou, e nem se demonstra a pretensão de criar, um símbolo para “nenhuma ovelha”.

Nessa elaboração não se demonstrou a necessidade de representar o zero. Tampouco se preocupou em criar uma notação que lidasse com grandes quantidades. Assim também, ocorreu com as grandes civilizações do passado que, segundo DANTZIG (1970),IFRAH (1984)), HOGBEN (1970) e RIBNIKOV (1987), só se depararam com esses inesperados — a necessidade de criar um símbolo para o nada e a organização de uma notação que desse conta de grandes quantidades — diante da necessidade de registrar, de modo eficiente, os seus bens.

Apesar do aspecto bastante sintético dessa elaboração — uma característica bastante importante na linguagem matemática — não podemos afirmar que seus autores tenham conseguido abstrair conceitos ao desenvolverem a notação apresentada. Vemos claramente que falta uma sustentação lógica para resolver o problema apresentado pela atividade de ensino proposta. Porém, a nível de elaboração de linguagem, esse grupo demonstrou um maior desprendimento do real para deixar demonstrar seu pensamento.

Na figura 2, vemos que a qualidade escolhida para representar as potências se refere a objetos que se encontravam ao redor do ambiente comum para a época dos pastores, e que poderiam facilmente ser encontrados.

Vemos então um agrupamento de cinco ovelhas representadas por uma pedra; cinco pedras representadas por um graveto; cinco gravetos representados por um osso. Podemos supor que a cada cinco ossos teríamos um novo símbolo, e assim por diante. O osso valeria, então, 125 ovelhas, o graveto 25 ovelhas e a pedra cinco ovelhas.

No grupo-classe, o debate se ateve ao fato de que seria difícil “ir criando” símbolos, cada vez mais variados que representassem uma quantidade cada vez maior.

Do mesmo modo, as civilizações antigas — a exemplo dos chineses — criaram seus sistemas de contagem, alcançando muitas vezes grande progresso quanto a sintetização dos símbolos. Porém, a capacidade das notações numéricas apresentadas pelas grandes civilizações do passado ainda era limitada quanto se registrar quantidades elevadas. Assim como os professores apresentaram em suas elaborações, as civilizações passadas também se prenderam à necessidade de se criar cada vez mais símbolos para representar novos agrupamentos. (HOGBEN, 1970, DANTZIG, 1970, IFRAH, 1984).

Mesmo representando um avanço na operacionalidade da contagem, este grupo ainda vincula os diferentes valores exponenciais à qualidade física do objeto que conta, o que é impeditivo para a contagem de grandes quantidades.

No que se refere à linguagem criada, de fato há uma característica mais sintética, por organizar de modo simbólico o raciocínio lógico que a sustenta; porém, prende-se a uma necessidade de designar sempre um novo símbolo, aleatório, que “vela” a origem de sua criação. O osso poderia facilmente ser substituído por outro símbolo qualquer que em nada modificaria a sua lógica. Essa característica torna a elaboração criada vinculada a seus criadores. Essa mesma característica traz em si a presença da generalização, pois, não há a necessidade de uma explicação formal da lógica criada: os símbolos criados são suficientes para a sua perfeita compreensão, desde que na presença da “matriz”. Ao se apresentar um osso, por exemplo, isoladamente, isso não me remeterá a lógica criada para contar a quantidade.

Na figura 3, podemos perceber a necessidade de representar a ação de fazer corresponder. Percebemos a necessidade de dar significado ao significante, demonstrando a relação abstrata criada. O graveto e a pedra não “carregam” o significado; o desenho é quem comunica o significante.

A figura trata a unidade – uma pedra. Além disso, demonstra uma lógica que se preocupa em demonstrar o agrupamento, nesse caso regular.

Nessa figura, o grupo se utilizou o corpo (os dez dedos das mãos) como artifício para a primeira correspondência, formando um grupo inicial de “dez dedos” de ovelhas, na intenção de se desprender das pedras. O grupo deixa clara a preocupação de demonstrar que esse artifício refere-se ao movimento de corresponder um dedo a um objeto – seja ovelha, pedra, graveto. A partir desse grupo de “dez dedos”, há a substituição dessa quantidade por um único símbolo, o graveto. Ou seja, “dez dedos” de ovelhas, passariam a valer, um graveto. Num segundo agrupamento, vemos que “dez dedos” de gravetos, passam a valer uma folha. Podemos supor que, se houvesse quantidade suficiente de ovelhas para agrupar “dez dedos” de folhas, haveria a criação de um novo símbolo que representasse esse novo agrupamento.

Dos sistemas aqui analisados podemos verificar que, apesar da proposta da atividade ser a mesma para todos os participantes, não há nenhuma representação igual a outra. Mesmo que haja uma semelhança no raciocínio — conseqüência da posposta da própria atividade — as criações têm um aspecto individualizado, sãos singulares no modo de representar a operacionalidade. A relação entre linguagem e operacionalidade assume conotações diferentes em cada sistema. A representação, linguagem da operacionalidade, não se repete idêntica em nenhum sistema. Nas discussões apareceram as dúvidas, hesitações, momentos emblemáticos, próprios do processo de criação.

As limitações não são erros, mas definibilidades conceituais possíveis da inventividade de cada grupo. Essas limitações, discutidas no grupo classe, permitiram o avanço para um sistema, cujo conteúdo e representação são os mais coerentes possíveis de serem atingidos pelos pequenos grupos. Nas catorze figuras que foram apresentadas e descritas na pesquisa, somos convidados a participar do momento criativo dos professores.

O momento criativo explicita-se a partir de elaborações de juízos presentes nas respostas individuais e coletivas. Ao se definir o que é certo e o que é errado, os professores vão se autolocalizando em suas dúvidas e incertezas sobre o conceito de número natural, a partir de definibilidades próprias.

Há discussões. Há tensão. Há o entendimento de que um conceito nunca está pronto e acabado, ainda que este conceito seja o de número. É possível participar do desenvolvimento desse conceito e isso traz movimento a esse entendimento. Há o entendimento de que o domínio e controle das quantidades discretas deram e dão muito trabalho para a humanidade. Participar dessa elaboração, ressignifica para aquele que aprende sua relação com o conceito aprendido.

Reunindo idéias e deixando reticências

Ao tentarmos organizar as idéias explanadas a partir da pesquisa que deu origem a este trabalho, destacamos nela os aspectos da linguagem subjacentes às elaborações dos professores, mesmo que para a análise dos dados na pesquisa não se tenha focalizado o olhar para tal.

Destacamos as relações de aprendizagem que se estabeleceram nos encontros com os professores, que foram se definindo para nós enquanto inesperados. As respostas às atividades trabalhadas foram sendo organizadas tanto em linguagem operacional e formal — desenhos, escritos, falas — quanto na linguagem dos sentimentos, pois víamos acontecendo um crescente deslumbramento por parte de alguns dos participantes pelo prazer de (re)criar, para si mesmos, conceitos matemáticos com os quais já trabalhavam, mas que nem sempre os compreendiam. Esse deslumbramento caracterizava o movimento das descobertas que fomos verificando pelos gestos, pela euforia, pelo sorriso de satisfação por encontrar uma resolução para o problema matemático vivenciado.

O desenvolvimento de uma concepção — e a investigação das implicações que advém de sua adoção — que se constituísse numa síntese entre ser humano compreendido enquanto corpo, mente, sentimentos inserido num contexto histórico, social e cultural, tornou-se um desafio que se refletia nas ações educativas.

Procuramos, então, organizar esses dados — formais e emocionais — e lhes “dar um corpo” que valorizasse esse movimento de (re)criação conceitual.

O diferencial do trabalho desenvolvido com os professores em formação continuada estava justamente nesta combinação: as atividades de ensino eram o motivo desencadeador para a (re)criação dos conceitos matemáticos e estas atividades respeitavam a metodologia da dinâmica indivíduo-grupo-classe, ou simplesmente dinâmica relacional. E ainda, servindo-nos de acesso aos sentimentos e elaborações subjetivas dos envolvidos, estes foram convidados a registrar suas impressões em diários ou portifólios.

Este encontro se caracterizou fundamentalmente por priorizar o desenvolvimento dos conceitos respeitando a tensão criativa de cada indivíduo e grupo. Essa preocupação se deve, primordialmente, por acreditarmos que a aprendizagem só é significativa quando o problema/motivo/necessidade advém do sujeito. Quando este se sente parte do problema, é motivado a buscar uma resolução (MOISÉS, 1999).

É comum ouvirmos o discurso acerca da necessidade de se valorizar os conhecimentos anteriores do aluno, fazê-lo sentir-se parte do conteúdo. Vemos na dinâmica que proporciona a tensão criativa, os elementos para que isso se efetive verdadeiramente.

Na interação com o outro, nas descobertas sobre os conceitos e na formalização pela linguagem, os professores puderam perceber suas conquistas psicológicas na relação com o conhecimento matemático.

Vivenciando o movimento de criar suas definibilidades sobre o conceito de número natural, os professores criaram resoluções para o problema do pastor visando a generalização. Porém, o que foi percebido quando no grupo-classe é que, apesar das intenções, havia muitas limitações nas propostas que fizeram. Essas limitações em nada sugerem erros, mas sim definibilidades conceituais possíveis da inventividade de cada grupo. Nas discussões no grupo-classe foi possível, pela análise do conteúdo apresentado pelo pequeno-grupo, avançar no encontro de uma definição pessoal mais lógica para o conceito de número natural que perseguíamos.

O processo de aprendizagem implementado nesse estudo, não consiste em uma transferência de conceitos formalizados pela ciência para a linguagem formal, mas sim, numa mudança na relação de aprendizagem destes.

O papel do professor como aquele que planeja sistematicamente as suas aulas e atua junto aos alunos proporcionando espaços para diálogos na sala de aula, o compromete a assumir-se enquanto mediador e orientador das interações de aprendizagem. É necessário que fique claro que nas ações de educar há intencionalidade, daí a importância do professor compreender o desenvolvimento dos conceitos matemáticos, fazendo da atividade de ensino um elemento desencadeador de processos interativos. Caso contrário, a atividade de ensino perde sua característica instigadora e assume o papel de qualquer outro exercício.

Pela intervenção do professor, os processos interativos passam a representar uma experiência social e pessoal, tornando significativos os conceitos desenvolvidos pelo coletivo.

A vivência e interação com essa proposta metodológica evidenciaram para os professores e para a pesquisadora, um caminho para a satisfação de inquietações pessoais.

A pesquisa corroborou a convicção que tínhamos que o caminho pessoal é o único. Dessa forma, as reflexões analisadas na pesquisa e brevemente explicitadas neste trabalho, tanto dos professores como a nossa — demarcadas pelas escolhas que fizemos tanto teóricas quanto no olhar que lançamos para o material de análise — representam uma breve contribuição para outros educadores que pretendam tomar a teoria do conhecimento como centro de sua prática e reflexão educacional.

Bibliografia

ARAÚJO, E. S. – Da formação e do formar-se: A atividade de aprendizagem docente em uma escola pública, Faculdade de Educação, FE/USP, Tese de doutorado, orientador prof. Dr. Manoel Oriosvaldo de Moura, 2003.

CARAÇA, B. J.- Conceitos Fundamentais da Matemática. Portugal - Gradiva, 4ª edição, 2002.

CATALANI, E.M.T. – A inter-relação forma e conteúdo no desenvolvimento conceitual da fração. Faculdade de Educação – FE/UNICAMP, Dissertação de mestrado, orientadora Profa Dra Anna Regina Lanner de Moura, 2002.

DANTZIG, T. – Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro – Zahar Edtores, 1970.

DAVYDOV, V.V. – An experiment in introducing elements of algebra in elementary school. In: Soviet Education, no 1, vol. V, nov/1962.

DAVYDOV, V.V. – La enseñanza escolar y el desarrollo psiquico. Moscou: Editorial Progresso, 1988.

DAVYDOV, V.V. – Tipos de generalización en la enseñanza. . Ciudad de La Habana: Editorial Pueblo y Educación, 1982.

FERREIRA, E. S. M. – Quando a atividade de ensino dá ao conceito matemático a qualidade de educar. Faculdade de Educação – FE/UNICAMP, Dissertação de Mestrado, orientadora Profa Dra Anna Regina Lanner de Moura, 2005.

GALHARDO, D. - A dialética do conceito: a Pedagogia como socialização da Ciência, da Cultura e da Arte. São Paulo, editora GAP/ELO, 1982.

HOGBEN, L. – As Maravilhas da Matemática: influência e função da Matemática nos conhecimentos humanos. Porto Alegre - Editora Globo, 1970.

___________. – O homem e a Ciência: o desenvolvimento científico em função das exigências sociais. Primeiro volume. Fundo de Cultura Geral, vol. 7, Editora Globo, 1952.

IFRAH, G. - Os números – a História de uma grande invenção. São Paulo - Editora Globo , 1994.

KOPNIN, P. V. A dialética como lógica e teoria do conhecimento. Coleção: Perspectivas do homem, vol. 123. Editora Civilização Brasileira S.A., Rio de Janeiro, 1978.

LANNER de MOURA, A. R – A medida e a criança pré-escolar. Faculdade de Educação, UNICAMP/SP. Tese de Dourado, 1995.

LANNER de MOURA, A. R. e outros. - O movimento conceitual em sala de aula. Anais do XI Congresso Interamericano de Educação Matemática – CIAEM, Universidade Regional de Blumenau – FURB/SC, 13-17 de julho de 2003.

LANNER de MOURA, A. R e LORENZATO, S. – O medir de crianças pré-escolares. In Zetetiké, Revista do Círculo de Estudo, Memória e Pesquisa em Educação Matemática – CEMPEM, Faculdade de Educação, UNICAMP/SP, vol.. 9-n. 15/6, jan/dez de 2001.

LEONTIEV, A. N. – Actividad, Conciencia, Personalidad. Ciudad de La Habana: Editorial Peublo y Educación, 1983.

LIMA, L. C. - A sensação – Orientação pedagógica e didática. São Paulo, mimeo, 2003.

___________. - Momento de criar matemática, contando com coisas. São Paulo -CETEAC, 1992.

___________ e MOISÉS, Roberto. - Do pequeno mundo às estrelas. São Paulo - CEVEC – CIARTE, 1993.

___________ e MOISÉS, Roberto. – A teoria dos campos numéricos: a longa marcha da criação numérica. São Paulo - CEVEC – CIARTE, edições de 1992 e 1997.

MARCO, F. F. de – Estudo dos processos de resolução de problemas mediante a construção de jogos computacionais no ensino fundamental. Faculdade de Educação – FE/UNICAMP, Dissertação de mestrado, orientadora Profa Dra Anna Regina Lanner de Moura, 2004.

MOISÉS, R. P. – A resolução de problemas na perspectiva histórica/lógica : o problema em movimento. Faculdade de Educação, USP/SP. Dissertação de Mestrado, 1999.

MOURA, M. O. - A atividade de ensino como ação formadora. In Ensinar a ensinar: Didática para a Escola Fundamental e Média. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2001, p. 143-162.

______________. - O Educador Matemático na coletividade de formação: uma experiência com a escola pública. Faculdade de Educação, USP/SP. Tese de Livre Docência, 2000.

______________ - A construção do signo numérico em situação de ensino, Faculdade de Educação, FE/USP, Tese de doutorado, orientadora profa Dra Anna Maria Pessoa de Carvalho, 1992.

______________.(coord.) – Controle da Variação de Quantidades: atividades de ensino. São Paulo, FEUSP, 1996

OLIVEIRA, M. K. “Vygotsky – Aprendizagem e desenvolvimento, um processo sócio- histórico”, São Paulo: Scipione, 1993.

RÍBNIKOV, K. – História de las Matemáticas. URSS: Editorial Mir Moscú, 1987.

SÁ-CHAVES, I. Portfólios reflexivos: estratégia de formação e supervisão. In Formação de professores. Cadernos didático – Série Supervisão. Aveiro - Universidade de Aveiro, Gráfica Coimbra, 2000.

SOUSA, M.C.– Afectividade no ensino de matemática, IX Baú de Matemática. Ermesinde/Valongo, Portugal, 2004.

SOUSA, M.C.– Quando o lúdico faz parte do ensino de matemática, IX Baú de Matemática. Ermesinde/Valongo, Portugal, 2004.

SOUSA, M. C. – O ensino de álgebra numa perspectiva lógico-histórica: um estudo das elaborações correlatas de professores do ensino Fundamental, Faculdade de Educação, FE/UNICAMP, Tese de Doutorado, orientadora Profa Dra Anna Regina Lanner de Moura, 2004.

VYGOTSKY, L. S. - A formação social da mente. São Paulo - Martins Fontes, 1991a.

_______________. - Pensamento e linguagem. São Paulo - Martins Fontes, 1991b.

WALLON, H. – A evolução psicológica da criança. Portugal – Edições 70, 1995.