AS CONCEPÇÕES PROBABILÍSTICAS DE DOCENTES

MAURO CÉSAR GONÇALVES - Faculdade Hoyler - maurocg01@uol.com.br

Introdução

Este artigo tem o objetivo de apresentar os resultados parciais da pesquisa de GONÇALVES (2004), cujo título é “Concepções de Professores e o Ensino de Probabilidade na Escola Básica”.
Nesta pesquisa, o objetivo foi verificar se “há relação entre o que os Professores de Matemática, hoje em exercício, construíram quando foram alunos do Ensino Básico, e suas Concepções atuais sobre Aleatoriedade e Probabilidade?”
Em decorrência desta questão, elaboramos outras, dentre elas, o objeto do presente artigo.
“Quais são as concepções dos Professores de Matemática do Ensino Fundamental, em exercício, sobre o Aleatório e Probabilidade?”
Como referencial, nos apoiamos em Goded (1996) que categoriza as Concepções de Probabilidade em:

Concepção “não probabilística” da realidade, tendo como características:
• Não reconhecimento claro do azar e dos sucessos aleatórios.
• Modelos de raciocínio determinista.
• Respostas baseadas em crenças e critérios de causalidade e/ou expectativa de resultados imediatos. (GODED, 1996, p.66)

Concepção “Probabilística intuitiva” , temos como características:
• Alguma compreensão do azar e dos sucessos aleatórios.
• Raciocínios baseados fundamentalmente no uso heurístico de juízo.
• Respostas baseadas em modelos não normativos, com muitas diferentes valorações das situações dependendo da experiência pessoal (GODED, 1996, p.67)

Concepção “Probabilística Emergente” , temos como características:
• Uma compreensão inicial sobre a existência de múltiplas representações matemáticas do azar, a partir de diferentes perspectivas.
• Habilidade para aplicar modelos normativos a problemas simples e familiares
• Diferenciação reconhecida entre as crenças intuitivas e os modelos matemáticos. (GODED, 1996, p.67).

Concepção “Probabilidade normativa”, temos como características:
• Uma profunda compreensão da noção de aleatoriedade e sua aplicação ao estudo da realidade.
• Habilidade para selecionar e aplicar modelos normativos e sua relação com diferentes contextos e fenômenos.
• Capacidade para comparar e contrastar os diferentes modelos e raciocínio sob critérios normativos nas distintas situações aleatórias. (GODED, 1996, p.68)

Nossa hipótese era que encontraríamos nos professores pesquisados, concepções relacionadas às abordagens Clássica e Formal de Probabilidades, dentre elas, o raciocínio determinista, considerando a época na qual receberam sua formação básica (escola básica). Uma análise de livros didáticos de várias épocas nos levou a constatar a presença predominante destas duas concepções no período de formação destes professores (décadas 70, 80 e 90).
Para responder a esta questão aplicamos um questionário a vinte professores de Matemática do Ensino Fundamental, atualmente em exercício na rede pública e/ou privada. De posse dos questionários, realizamos nossas análises, qualitativa e quantitativa. A qualitativa se deu por meio do software C.H.I.C.

Alguns Resultados
Antes da aplicação do questionário, fizemos nossa análise a priori, no qual identificamos vinte e cinco possíveis soluções, que corresponderiam às quatro concepções de Probabilidade apresentadas por Goded (1996). Organizado os dados, e aplicado ao software C.H.I.C. nos foi possível obter as relações

O uso da árvore de similaridades nos permitiu explicitar quatro agrupamentos distintos.

Lembramos que r1, r2,..., r25 correspondem às vinte e cinco possíveis soluções que foram identificadas em nossa análise a priori, sendo que seus diferentes agrupamentos contemplavam diferentes concepções probabilísticas. Segue anexo o questionário e suas possíveis soluções.
A árvore de similaridade nos mostra quatro agrupamentos, ou seja, dos professores pesquisados podemos concluir, que há quatro grupos distintos de professores, classificados de acordo com a sua concepção de probabilidade. O primeiro grupo pode ser caracterizado como tendo a Concepção Probabilística Intuitiva, o segundo corresponde a Concepção não Probabilística da Realidade, o terceiro corresponde a Concepção probabilística Emergente e o quarto grupo refere-se à Concepção Probabilística Normativa.

Perfil dos Professores pertencentes aos diferentes grupos

O instrumento diagnóstico aplicado permitiu aos professores analisados que registrassem informações pessoais, acadêmicas e profissionais. Tais dados foram analisados também por meio do software C.H.I.C, porém por meio do índice de contribuição , e que nos possibilitou as seguintes observações:
Analisando as principais características dos Professores pertencentes ao primeiro grupo -Concepção Probabilística Intuitiva, temos: a formação do Ensino Fundamental ocorreu na década de 80; a formação do Ensino Médio, por sua vez, na década de 90; lecionam há mais tempo para turmas do Ensino Médio; não usam os PCN; o critério de escolha de livros didáticos utilizado para preparação de aulas é a quantidade de exercícios que o livro disponibiliza; consideram que os entes primitivos da probabilidade são a razão, proporção e freqüência.
Em relação às características dos Professores pertencentes ao segundo grupo - Concepção não Probabilística da realidade, temos: a formação do Ensino Fundamental ocorreu na década de 80; lecionam mais aulas e há mais tempo para turmas do Ensino Fundamental; usam os PCN; utilizam materiais manipulativos como metodologia de trabalho em conceitos algébricos; os livros didáticos adotados e utilizados na preparação de aulas seguem o critério da orientação dos PCN.
Em relação às características dos professores pertencentes ao terceiro grupo - concepção Probabilística Normativa, temos: a formação no Ensino fundamental ocorreu na década de 70; a formação no ensino Médio, na década de 80; tanto os livros adotados como os utilizados para preparação das aulas são escolhidos sem critérios definidos, e a razão, proporção e a freqüência são considerados entes primitivos da Probabilidade.
O quarto grupo - concepção Probabilística Emergente, é composto por Professores que tiveram a formação do Ensino Médio na década de 90; têm o maior número de aulas no Ensino Médio; lecionam há mais tempo para o Ensino Médio, inclusive para a segunda série do referido nível. Em relação à leitura dos PCN, este grupo é composto por uma parte significativa de Professores que declaram ter realizado a leitura e, outra parte, também significativa, que afirma não ter realizado a leitura; porém, mesmo os que afirmam ter lido, utilizam-se raramente dos seus conteúdos; os livros que são adotados são escolhidos pelo critério quantidade de exercícios disponíveis; os livros utilizados na preparação das aulas seguem as orientações dos PCN; e, ainda, temos aqueles que utilizam materiais manipulativos para lecionar conceitos de geometria e consideram o acaso, o evento e o espaço amostral como sendo os entes primitivos da Probabilidade. (GONÇALVES, 2004, p.94)

O quadro a seguir traz um resumo destas observações.

PERFIL DOS PROFESSORES E SUAS CONCEPÇÕES PROBABILÍSTICAS

Vale ressaltar que em nosso instrumento diagnóstico tivemos condições de constatar somente os enfoques Formal , Clássico e Freqüentista de Probabilidades, pois as questões não foram elaboradas de modo a verificar a existência dos enfoques subjetivo e geométrico . Esta opção se deu após nossas análises em livros didáticos e orientações institucionais das décadas de 70, 80 e 90, que não abordavam os dois últimos enfoques.
Com isso, concluímos que os professores categorizados como tendo a Concepção Probabilística Normativa apresentam concepções relacionadas aos enfoques Clássico e Freqüentista. Não identificamos e nada pudemos afirmar sobre a Concepção Formal ou Axiomática, pois não encontramos respostas que tivessem como justificativa qualquer elemento referente a esta abordagem.
Ambos enfoques, Clássico e Freqüentista, também foram contemplados em nossa análise qualitativa, pois em várias questões identificamos justificativas relacionadas ao raciocínio determinista e ao uso exclusivo da razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis de um evento, características do enfoque Clássico.
Em relação ao ponto de vista Freqüentista, constatamos a existência de um grupo de professores de nossa amostra que mobilizam uma concepção de probabilidade associada a esse enfoque, pois validam situações aleatórias por meio da experimentação; além disso, distinguem a quantidade de lançamentos que são significativos ou não para tirar qualquer conclusão numa determinada situação e identificam os espaços amostrais equiprováveis e não equiprováveis.
Desta forma, os resultados mostram que, embora um grupo de professores da amostra possui a Concepção Normativa de Probabilidade, tivemos a ocorrência de concepções cujas características incluem ausência ou pouca compreensão de elementos essenciais da Probabilidade, o que justifica e reforça a necessidade de pesquisas e projetos de formação continuada para professores de Matemática voltados ao ensino de Probabilidade.

Referências


ARTIGUE, M. Épistémologie et didactique. Recherches em Didactique des Mathématiques, Grenoble, v. 10, n. 2-3, p. 241-286, 1990.
GODED, P. A. Estudio de las Concepciones disciplinares de futuros Profesores de Primaria en torno a las nociones de Aleatoriedad y Probabilidad.

Granada: Comares, 1996.

GRAS, R.; PETER, P.; BAQUÉDANO, S. L’analyse implicative pour l’étude d’un questionnaire de personnalité. PROCEEDINGS DES JOURNÉES EXTRACTION ET GESTION DES CONNAISSANCES EGC. Nantes, p.181-187, jan. 2001

GONÇALVES, M.C. Concepções de Professores e o Ensino de Probabilidades na escola Básica. São Paulo, 2004. 148 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.

Anexos – Questionário e Possíveis Soluções

1)Considere um tetraedro regular que possui uma cor diferente em cada face- azul, verde, vermelho e amarelo.
Apresentada esta situação-problema a três alunos, e questionando-os sobre a probabilidade da face não visível ser azul, as estratégias e conclusões dos alunos foram:
Aluno 1- Este aluno, de posse do tetraedro, realizou 50 lançamentos, dentre os quais observou que em 21 vezes ocorreram faces azuis; então, concluiu que a probabilidade de ocorrer face azul é de 42%.
Aluno 2 – Este aluno acompanhou a estratégia do aluno 1, porém discordou da conclusão, afirmando que a probabilidade de ocorrer face azul num tetraedro regular é de 1 em 4.
Aluno 3 - Este aluno realizou de modo formal, como razão entre número de sucessos sobre o número total de chances, P(A) = ¼, concluindo, então, que  a probabilidade de ocorrer face azul num tetraedro regular é de ¼.
Explique a estratégia de cada um dos alunos.

2)Em relação à mesma situação anterior, porém,  perguntando aos alunos se as cores têm as mesmas chances de serem contempladas num lançamento ao acaso. as respostas que obtivemos foram:
Aluno 1- Não, pois no experimento que realizamos saíram quantidades  de vezes diferentes de cada cor.
Aluno 2- Não sei, pois pelo experimento observamos que não, mas pela solução formal observamos que sim.
Aluno 3- Sim, pois cada cor aparece uma vez no tetraedro e, como ele é regular, todas têm as mesmas chances.
Das respostas acima, com qual você concorda? E como você explicaria aos outros  alunos que suas respostas

Possíveis Soluções:
Em relação ao aluno 1, o professor poderá justificar:
R1. O aluno tirou sua conclusão de acordo com o que tinha como resultado de um experimento.
R2. O aluno ignorou ou desconhece a resolução formal de probabilidades.
Em relação ao aluno 2, o professor poderá justificar:
R3. O aluno conhece o modo formal de resolver probabilidade e também reconhece a experiência como válida numa situação de probabilidade. R4. O aluno não sabe ou está confuso entre os dois processos de resolução.
Em relação ao aluno 3, o professor poderá justificar:
R5. O aluno conhece o modo formal de resolver probabilidade.

2)Em relação à mesma situação anterior, porém, perguntando aos alunos se as cores têm as mesmas chances de serem contempladas num lançamento ao acaso. as respostas que obtivemos foram:
Aluno 1- Não, pois no experimento que realizamos saíram quantidades de vezes diferentes de cada cor.
Aluno 2- Não sei, pois pelo experimento observamos que não, mas pela solução formal observamos que sim.
Aluno 3- Sim, pois cada cor aparece uma vez no tetraedro e, como ele é regular, todas têm as mesmas chances.

Das respostas acima, com qual você concorda? E como você explicaria aos outros alunos que suas respostas não são válidas?

Possíveis Soluções:
Ao concordar com a resposta do aluno 1, identificamos:
R6. O aluno 1 realizou experimentos, resultando uma quantidade maior de vezes em uma das cores, o que nos leva a concluir que as cores não tem as mesmas chances de serem contempladas. Explicaria aos demais alunos que suas conclusões não estão certas porque o dado pode estar viciado.
R7. O aluno 1 realizou experimentos, resultando uma quantidade maior de vezes em uma das cores, o que nos leva a concluir que as cores não tem as mesmas chances de serem contempladas. Explicaria aos demais alunos que suas conclusões não estão certas porque somente reconhecemos como válidos os resultados das experiências.
Ao concordar com a resposta do aluno 2, identificamos:
R8. O aluno 2 observa o experimento, porém, como também tem um conhecimento formal, não o valida, já que os resultados são diferentes. Explicaria aos demais alunos que suas conclusões não estão certas porque o dado pode estar viciado, o que justifica a conclusão do aluno em não saber.
Ao concordar com a resposta do aluno 3, identificamos:
R9. O aluno 3 se apropriou de um modo formal de resolução, o que está correto. Explicaria aos demais alunos que suas conclusões não estão corretas devido à quantidade de experimentos realizados, pois 50 é muito pouco.
R10. O aluno 3 se apropriou de um modo formal de resolução, o que está correto. Explicaria aos demais alunos que suas conclusões não estão corretas porque os resultados entre as experiências e o formal teriam que ser iguais.

3) Outra situação envolvendo o tetraedro regular foi apresentada aos alunos:
Com o mesmo tetraedro regular foram realizados 1000 lançamentos e observados as seguintes ocorrências: 350 verdes, 150 azuis, 300 vermelhos e 200 amarelos. Com isso pode-se afirmar que no 1001º lançamento tenha-se 35% de chance de ocorrer face verde?
Aluno1- Sim, pois no experimento realizado a face verde apareceu maior número de vezes.
Aluno 2- Não sei, pois, experimentalmente, a face verde apareceu 350 vezes num total de 1000 lançamentos, mas a probabilidade de cada face é a mesma (1/4).
Aluno 3- Não, pois todas as cores têm as mesmas chances de ocorrer.

Comente as respostas dos três alunos

Possíveis Soluções:
Ao comentar a resposta do aluno 1, identificamos:
R11. O aluno 1 realizou experimentos, resultando uma quantidade maior de vezes em uma das cores, o que nos leva a concluir que as cores não tem as mesmas chances de serem contempladas.
R12. O aluno 1 realizou experimentos, resultando uma quantidade maior de vezes em uma das cores, o que nos leva a concluir que as cores não tem as mesmas chances de serem contempladas, uma vez que o número de experimentos realizados foi significativo.
Ao comentar a resposta do aluno 2, identificamos:
R13. O aluno 2 observa o experimento, porém como também tem um conhecimento formal, não o valida já que os resultados são diferentes.
Ao comentar a resposta do aluno 3, identificamos:
R14. O aluno 3 só reconhece como válida a resolução formal.
R15. O aluno 3 só reconhece como válida a resolução formal, ignorando o fato de que o tetraedro pode estar viciado.
4)E com um tetraedro não regular? O que acontece? Esta situação foi apresentada verbalmente aos alunos, momento em que o professor explicou como seria um tetraedro não regular, e as respostas foram:
Aluno 1- Mantenho os experimentos e tiro as conclusões a partir dos resultados.
Aluno 2- A probabilidade de cada face ser contemplada se mantém, pois cada cor continua aparecendo uma única vez.
Aluno 3- As probabilidades de cada cor são diferentes devido aos tamanhos das faces serem também diferentes. Talvez, para se ter uma resposta, fosse preciso realizar muitos lançamentos e, a partir daí, verificar a freqüência de cor.

Comente as respostas dos três alunos

Possíveis Soluções:
Ao comentar as respostas do aluno 1, identificamos:
R16. O aluno 1 só reconhece como válida a resolução de modo experimental.
R17. O aluno 1 só reconhece como válida a resolução de modo experimental, ignorando a regularidade ou não do tetraedro.
Ao comentar a resposta do aluno2, identificamos:
R18. O aluno 2 relaciona com o modelo anterior de tetraedro, ignorando o fato de não ser regular.
Ao comentar a resposta do aluno3, identificamos:
R19. O aluno 3 só reconhece como válida a abordagem freqüentista.
R20. O aluno 3 tem noções de eqüiprobabilidade.

5)Um professor propôs aos alunos um problema que perguntava sobre a probabilidade de se obter cara num lançamento de uma moeda honesta, colocando uma moeda na mão de cada aluno e pedindo que a lançassem algumas vezes para observar os resultados. Disponibilizou, também, uma tabela contendo os resultados de 3000 lançamentos, ao final dos quais observou-se 2000 resultados “cara”, com a informação de que aquela tabela foi construída para o tipo de moeda que eles estavam usando na classe. Ao final, o professor observou resoluções de quatro alunos:
• Aluno 1: P(C) = ½ = 50%, pois só podemos obter cara ou coroa
• Aluno 2: Realizou 10 experimentos e obteve 6 caras, e concluiu que a resposta da questão seria 60%
• Aluno 3: Realizou 100 lançamentos, obtendo 38 caras, e concluiu que a resposta da questão seria 50%, pois mesmo com estes valores só existem dois resultados possíveis.
• Aluno 4: Indicou que a probabilidade de obter cara vale 2/3 por causa da tabela.
Das resoluções acima, com qual você concorda? Justifique.
Possíveis Soluções:
Ao concordar com a resposta do aluno 1, identificamos:
R21. O aluno 1 só reconhece como válida a resolução de modo formal.
R22. O aluno 1 só reconhece como válida a resolução de modo formal, ignorando o fato de o dado ser ou não viciado.
Ao concordar com a resposta do aluno 2, identificamos:
R23. O aluno 2 fez novos experimentos e a partir deles chegou à sua conclusão.
Ao concordar com a resposta do aluno 3, identificamos:
R24. O aluno 3 fez novos experimentos, pois reconhece o modelo experimental como solução de um problema de probabilidade, porém discorda dos resultados, mantendo-se no resultado formal.
Ao concordar com a resposta do aluno 4, identificamos:
R25. O aluno 4 reconhece a tabela e valida os resultados, uma vez que o número de experimentos é bastante significativo.